15. Experimentální základy kvantové hypotézy

Sylabus

Státní závěrečná zkouška

Experimentální základy kvantové hypotézy

• Částicové vlastnosti světla a vlnové vlastnosti částic.
• Planckova kvantová hypotéza, foton, fotoelektrický jev.
• De Brogliova hypotéza.

de Broglieho hypotéza

• Vychází z kvantové teorie světla - hybnost fotonu elektromagnetického záření o frekvenci $ f $ (vlnové délce $ \lambda $) je $ p=\frac{hf}{c}=\frac{h}{\lambda} $ a jeho vlnová délka je tedy $ \lambda=\frac{h}{p} $.
• Předpokládá, že tento vztah platí obecně, nejen pro elektromagnetické záření, tedy že každému volnému hmotnému objektu s hybností $ p $ lze přiřadit rovinnou monochromatickou vlnu o vlnové délce $ \lambda $ dané vztahem $ \lambda=\frac{h}{p} $.
• Hybnost hmotného objektu o hmotnosti $ m $, který se pohybuje rychlostí $ v $, je $ p = mv $ a tudíž jeho de Broglieho vlnová délka se rovná $ \lambda=\frac{h}{mv} $ kde $ m $ je relativistická hmotnost.
• Pro rychlosti $ v \ll c $ je kinetická energie hmotného objektu dána vztahem $ E_k=\frac{p^2}{2m} $ a jeho vlnová délka je tedy $ \lambda=\frac{h}{\sqrt{2mE_k}} $.

Davissonův - Germerův pokus

Jak se ověřuje, jestli se něco chová jako vlna? Vlnění vykazuje interferenci, takže chceme difraktovat na mřížce. Aby difrakce mohla vzniknout, musí být vlnová délka záření srovnatelná se vzdáleností uzlů mřížky. Nejmenší strukturou pro interferenční pokusy, jakou lze v přírodě nalézt, je krystalová mřížka - uzly jsou jednotlivé atomy krystalu. Vzdálenosti mezi atomy v krystalové mřížce jsou řádu $ 10^{-10}\, \, m $ , tedy vhodná de Broglieho vlnová délka je ~ $ 10^{-10} \rm \, m \,\,\, \Rightarrow $ vhodné objekty jsou například elektrony, protony, neutrony... $ \Rightarrow $ až u objektů mikrosvěta lze objevit předpokládané vlnové vlastnosti

Uspořádání

Svazek elektronů urychlených napětím několika desítek voltů dopadá na povrch krystalu niklu (obr. 6-1)-> dochází k odrazu elektronů na povrchové vrstvě atomů krystalu -> měří se intenzita rozptýlených elektronů v závislosti na směru rozptylu (měří se proud, který vytváří elektrony dopadající do pohyblivého detektoru). Při provedení experimentu byla pozorována zřetelná maxima a minima. K vysvětlení jejich vzniku se používá de Broglieho hypotesa - rozptyl elektronů na krystalech se . Navrhli interpretaci, podle níž se elektrony rozptylují na atomech krystalu zcela obdobně jako paprsky rentgenového záření.

Obr. 6-1

Teorie

- rozptyl rentgenového záření na atomech krystalové mřížky - RTG záření se zesílí ve směrech, ve kterých je dráhový rozdíl vln rozptýlených na jednotlivých atomech roven celočíselnému násobku vlnové délky (obr. 6-2)

Obr. 6-2

- pro $ a $ vzdálenost mezi atomy v krystalu jde velikost dráhového rozdílu $ \Delta $ napsat jako $ \frac{\Delta=a sin(\phi)}{} (15.1) $ a podmínka pro interferenční maxima je $ \frac {a sin(\phi)=k\lambda}{} (15.2) $ (k = 1, 2, .. je řád interferenčního maxima)

- předpoklad: rovnice (6.2) platí i pro rozptyl elektronů. Velikost vzdálenosti $ a $ a úhly $ \phi $ se zjistí experimentálně a pomocí vztahu (15.2) se vlnová délka příslušná rozptylujícím se elektronům určí jako $ \lambda = \frac{a sin(\phi)}{k} (15.3) $

- za $ \lambda $ dosadíme $ \lambda=\frac{h}{\sqrt{2mE_k}} $, urychlovací napětí U dodá elektronům (elektrický náboj e, hmotnost me) kinetickou energii $ \frac{E_k = eU}{} $

- po dosazení: $ \lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_e eU}} (15.4) $

->po dosazení naměřených hodnot do vztahů (15.3) a (15.4) vyjde stejná hodnota pro veličinu $ \lambda $=> Davissonův-Germerův pokus přímo potvrzuje de Broglieho hypotesu o vlnové povaze hmotných objektů

Planckova kvantová hypotéza, foton, fotoelektrický jev

Fotoelektrický jev

- poprvé popsán Heinrichem Hertzem v 19. století - pozoroval chování elektromagnetického vlnění při dopadu na povrch kovu

- kvantové vysvětlení poskytl Einstein

výsledky pokusů

- při ozáření světlem se některé látky (především kovy) nabijí kladně

- při ozáření vzorku spektrem elektromagnetického vlnění jsou pohlceny krátké vlnové délky a delší vlny ve spektru zůstanou

- pro krátké vlnové délky dochází k emisi vodivostních elektronů z kovu; se zvyšováním intensity dopadajícího záření roste počet uvolněných elektronů, ale ne jejich energie

- pro dlouhé vlny jev nastává až při určité intensitě dopadajícího záření

- energie vyražených elektronů závisí na frekvenci dopadajícího záření - pokud frekvence dopadajícího záření klesne pod určitou prahovou (mezní) frekvenci $ \nu_0 $, fotoemise nenastane

- mezní frekvence je charakteristickou vlastností každé látky

-> podle klasické fysiky by dopadající EM záření mělo předat svou kinetickou energii elektronům; energie EM vln závisí na intensitě záření, takže energie vyražených elektronů by měla záviset na intensitě záření -> spor s výsledky experimentů -> klasická fysika neumí vysvětlit fotoelelktrický jev -> fotoelektrický jev je kvantový jev

kvantové vysvětlení

- využívá Planckovy teorie - při interakcích s jinými částicemi předává EM vlnění svou energii nespojitě (po kvantech); velikost kvanta energie závisí na frekvenci (vlnové délce) EM záření, přičemž platí $ E = h\nu = \hbar\omega $,

kde $ h $ je Planckova konstanta, $ \nu $ je frekvence elektromagnetického záření, $ \omega = 2 \pi \nu $ je jeho kruhová frekvence

- kvantum EM záření se nazývá foton

Světlo při dopadu předává energii elektronům na povrchu zkoumané látky. Pokud je frekvence dopadajícího EM záření větší než prahová frekvence, dojde k uvolnění elektronu z vazby v obalu atomu. Při interakci předá EM záření elektronu energii; minimální energie potřebná k vytržení elektronu z obalu atomu je tzv. ionizační energie (velikost ionizační energie se občas označuje jako fotoelektrická bariéra). Předáním dostatečné energie elektronům je možné tuto bariéru překonat (mluví se také o tzv. výstupní práci).

Při velkých vlnových délkách (nízkých frekvencích a tedy i energiích) fotoelektrický jev nenastane, protože energie fotonu nestačí na uvolnění elektronu z obalu atomu.

Energie předaná elektronu "navíc" (přebytek přes výstupní práci) se projeví ve formě kinetické energie elektronu.

Odtud rovnice fotoelektrického jevu $ h\nu = h\nu_0 + E_\mbox{max}\ $,

kde $ h\nu $ je energie dopadajícího fotonu, $ h\nu_0 $ je minimální energie potřebná k uvolnění elektronu (výstupní práce alias ionizační energie) a $ E_{max} $ je maximální možná energie uvolněného elektronu.

Z rovnice vyplývá, že: - energie uvolněného elektronu závisí pouze na frekvenci dopadajícího záření - počet uvolněných elektronů závisí na intensitě záření - bez ohledu na intensitu dopadajícího záření nemůže při $ \nu < \nu_0 $ dojít k uvolnění elektronů, tzn. nedochází k fotoefektu

Výstupní práce elektronu závisí na tom, jak hluboko se elektron v látce nachází, proto leží energie fotoelektronů v rozmezí od nuly do $ E_{\rm max} $.

inversní fotoelektrický jev

- pokud na látku dopadají elektrony, které způsobují vyzařování fotonů, mluví se o inversním (obráceném) fotoelektrickém jevu

Energie pohybujícího se elektronu je obvykle podstatně větší než potenciálová hráz, hodnota výstupní práce se proto zanedbává, tzn. $ E_k = h\nu $

Při dopadu na kov elektron obvykle ztrácí svou energii postupně, tzn. během srážek s několika částicemi hmoty, kdy postupně uvolňuje svou energii ve formě tepelného záření. Pokud ale elektron ztratí všechnu svou energii při jednom nárazu, může se všechna jeho kinetická energie změnit na foton. Tak je možné získat fotony rentgenového záření.

Pokud dojde k přeměně energie elektronu ve foton jedním nárazem, dostane foton největší možné množství energie, tzn. $ E_k = h\nu_{max} = eU $,

kde $ e $ je elektrický náboj elektronu a $ U $ je urychlující potenciál.

Vyjádřením pomocí vlnové délky získáme tzv. Duane-Huntův zákon $ \lambda_{\rm min}U = \frac{hc}{e} = konst $,

Odtud plyne, že se zvyšováním urychlujícího potenciálu se maximum energie posouvá ke kratším vlnovým délkám, což bylo také experimentálně pozorováno.