Gaussovské svazky, nedifrakční svazky, jejich šíření a transformace

Státnice - Fyzika NMgr: Seznam okruhů#4. Vlnová optika

GS na anglické Wikipedii

GS jsou výjimečné, protože

• Výkon je soustředěn v úzkém rotačně symetrickém kuželu
• Vlnoplochy: rovinné čí sférické
• Pro danou šířku svazku mají minimální divergenci
• Vystupují z většiny laserů

Zvolím SS tak, aby směr šíření byl ve směru osy z, a GS má potom komplexní analytický signál U(x,y,z)=A w₀/w(z) exp[-ρ²/w²(z)] exp[iΦ(ρ,z)], kde

• Φ = kz+kρ/2R(z)-ξ(z)
• w(z) = pološířka svazku = w₀ √(1+(z/z₀)²)
• w₀ = středová pološířka = √(λz₀/π)
• R(z) = poloměr křivosti = z [1+(z₀/z)²]
• ξ(z) = fázové zpoždění = arctg(z/z₀)
• z₀ = Rayleighova vzdálenost [bývá kolem cm]
• ρ = radiální vzdálenost = √(x² + y²)

Pozn.: každý GS je plně určen třemi parametry: A, z₀ a λ. Intenzitní rozložení je gaussovské pro všechna z: I(ρ, z)=I₀ [w₀/w(z)]² exp[-2ρ²/w²(z)]; I₀=A². I(0,z)=I₀/[1+(z/z₀)²]; pro z=z₀ je I(z,0)=I(0,0)/2. Pro z >> z₀: I~z^-2 [jako u sférické vlny]

Výkon přenášený svazkem: P=∫_R⁺ I(ρ,z) 2πρ dρ = 1/2 I₀ (π w₀)²...v kružnici o poloměru w(z) je soustředěno 86% výkonu; v kružnici o poloměru 1,5 w(z) je 99% výkonu.

Pro z>>z₀ je divergence svazku θ~w₀/z₀=λ/πw₀ => svazek se rozšiřuje [odvození: w(z)~w₀z/z₀]. Pozn: malá rozbíhavost~malé λ~široký svazek. Pozn. 2: ohnisko svazku nemusí vůbec být uvnitř laseru, který tento svazek vytvořil!! A někdy je to vhodné: v ohnisku je totiž velká intenzita a aktivní prostředí by mohlo shořet)

Fáze: pro ρ=0: Φ=kz-arctg(z/z₀) = fáze RHMV - odchylka. Vlnoplocha je paraboloid o poloměru R = z [1+(z₀/z)²]. Pro z=0 je GS rovinnou vlnou; pro z=z₀ je R nejmenší; a pro z->∞ je to opět RHMV. Konvence: R>0..divergentní (rozbíhavý svazek)

Tvarování GS: průchod tenkou čočkou: použijeme formalismus Fourierovské optiky: f(x,y)=f(ρ)=exp(-iπ(x²+y²)/λf)=exp(-ikρ²/2f) a U tímto vynásobíme. Změní se pouze fáze, svazek zůstane gaussovským. Těsně za čočkou: Φ=kz-ξ+kρ²/2R₁', kde R₁' je zvoleno tak, aby 1/R₁'=1/R₁-1/f; R₁ byla původní divergence svazku a f je ohnisková vzdálenost použité čočky. w se nemění. Použití: dáme spojku do pasu svazku (z=0). !! Svazek se nezfokusuje do jediného bodu (jako v geometrické optice RHMV), ale bude mít pás již před ohniskem. použité čočky.

Pro z₀ >> f .. získám málo rozbíhavý svazek

Hermitovské-Gaussovské svazky

Mají jiný příčný průběh intenzity než GS; označují se dvěma celými čísly (jedno pro řád hermitova polynomu ve směru x a druhé pro řád hermitova polynomu ve směru y). Gaussovský svazek je HG řádů (0,0) [tzn. GS = nejnižší HGS]. Pouze tento jediný je sféricky symetrický. Pokud do rezonátoru přidáme kruhovou clonku, pak vyšší odstíníme.

Besselovské svazky

U = A J_m(k_⊥ρ) exp(-imϕ) exp(iβz). m=0, ±1, ±2,... J_m = Besselova funkce 1. druhu m-tého řádu k_⊥ a β jsou příčná a podélná složka vektoru šíření ϕ = arg(x+iy) = úhel v rovině kolmé ke směru šíření

Vlnoplochy jsou rovinné, paprsky jsou rovnoběžné přímky rovnoběžné s osou z. Mají nulovou divergenci (a to je vykoupeno tím, že příčné prostorové rozložení intenzity klesá hrozně pomalu, a jsou tedy prakticky nekonečně široké)