10. Elektrické obvody stacionární, kvazistacionární a střídavé
Obsah
Sylabus
Elektrické obvody stacionární, kvazistacionární a střídavé Ustálený a neustálený stav. Metody řešení elektrických obvodů. Kirchhoffova pravidla. Jouleův zákon.
Elektrické obvody
Jako kritérium pro klasifikaci elektrických obvodů může sloužit charakter časové závislosti elektromotorického napětí či proudu použitých aktivních prvků. Podle tohoto kritéria můžeme rozeznat dva typy.
- stejnosměrný obvod - působí zde zdroje s časově neproměnným elektromotorickým napětím
- střídavý obvod - má zdroje s harmonickým střídavým elektromotorickým napětím (proudem) o dané kruhové frekvenci $ \omega $
Bezprostředně po zapnutí zdrojů mohou být proudy v jednotlivých prvcích stejnosměrného obvodu časově proměnné - obvod je v neustáleném stavu. Po uplynutí dostatečně dlouhé doby přejde obvod do ustáleného stavu charakterizovaného časově neproměnnými proudy.
Ustálený stav střídavého obvodu nastává po dostatečně dlouhé době po zapnutí příslušných zdrojů elektromotorického napětí, kdy je možné zavést impedanci jednotlivých prvků. V opačném případě mluvíme o neustáleném stavu.
Ohmův zákon pro homogenní vodiče v diferenciálním tvaru je dán vztahem
$ \mathbf{j} = \gamma \mathbf{E} $
kde $ \mathbf{\gamma} $ je měrná vodivost.
Pro nehomogenní vodiče platí Ohmův zákon v zobecněném tvaru
$ \mathbf{j} = \gamma (\mathbf{E} + \mathbf{E^*}) $
Veličina $ \mathbf{E^*} $ je tzv. vtištěná elektromotorická intenzita. Pak můžeme zavést elektromotorické napětí vztahem
$ U_e^{AB} = \int_A^B \mathbf{E^*}\cdot d\mathbf{l} $
Ohmův zákon pro uzavřený obvod
$ I = \frac{U_e}{R_c} $
kde $ R_c $ je celkový odpor.
Kirchhoffovy zákony
Kirchhoffovy zákony pro stacionární obvod
1. Kirchhofův zákon se týká celkového proudu vytékajícího ze styčného místa několika vodičů (neboli uzlu). Tento zákon je důsledkem rovnice kontinuity proudu, která má tvar
$ \operatorname{div} \mathbf{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 $
ve stacionárním přiblížení pak má rovnice kontinuity proudu tvar
$ \operatorname{div} \mathbf{j} = 0 $
Jestliže tedy obklopíme uzel libovolnou uzavřenou plochou S, bude celkový proud vytékající z této plochy zřejmě roven algebraickému součtu proudů tekoucích jednotlivými vodiči. Po využití rovnice kontinuity pro stacionární stav, zřejmě platí
$ \oint_S \mathbf{j} \cdot d\mathbf{S} = \sum_{k=1}^N I_k = 0 $
neboli: algebraický součet stacionárních proudů v uzlu je roven nule
2. Kirchhoffův zákon:
Součet úbytků napětí na všech odporech ve smyčce je roven celkovému elektromotorickému napětí zdrojů smyčky.
Tedy platí
$ \sum_{k=1}^N R_kI_k = \sum_{j=1}^M U_e $
Kirchhoffovy zákony pro kvazistacionární obvod
V elektrických obvodech, ve kterých může docházet ke změnám proudu, existují složitější poměry než v obvodech stacionárních. Příčinou je především jev elektromagnetické indukce. Další příčinou je uplatnění kapacit mezi jednotlivými vodiči - při změnách potenciálu vodičů dochází ke změnám v rozložení nábojů, a tudíž ke vzniku dodatečných proudů v jednotlivých částech obvodu. 1. Kirch. zákon zůstává v nezměněném znění. 2. Kirch. zákon je lehce pozměněn: Součet napětí na všech odporech, kapacitách a indukčnostech zařazených do uzavřené smyčky je v každém okamžiku roven součtu elektromotorických napětí působících ve smyčce, neboli
$ \mathbf{U_L(t) + U_C(t) + U_R(t) = U_e(t)} $
Pro řešení střídavých lineárních obvodů využijeme komplexní symboliku.
Okamžitou hodnotu střídavého napětí či proudu je možné vyjádřit jako reálnou část komplexních veličin
$ \hat{U}(t) = U_0 e^{i(\omega t + \varphi_U)} = \bar{U} e^{i\omega t} $
$ \hat{I}(t) = I_0 e^{i(\omega t + \varphi_I)} = \bar{I} e^{i\omega t} $
tedy
$ U(t) = Re \hat{U}(t) $
$ I(t) = Re \hat{I}(t) $
Napětí a proudy mohou být v každém okamžiku takto reprezentovány, je ale zřejmé, že člen $ exp(i\omega t) $ nenese při zadané frekvenci o sledované veličině žádnou informaci. Stačí tedy napětí a proudy reprezentovat jejich komplexními amplitudami.
$ \bar{U} = U_0 e^{i\varphi_U} $
$ \bar{I} = I_0 e^{i\varphi_I} $
Pro odpor, indukčnost a kapacitu platí postupně
$ \bar{Z}_R = R $
$ \bar{Z}_L = i \omega L $
$ \bar{Z}_C = \frac {1}{i \omega C} $
kde $ \bar{Z} $ je komplexní impedance. Poměr mezi komplexními amplitudami proudu a napětí můžeme obecně vyjádřit vztahem
$ \bar{U} = \bar{Z} \bar{I} $
Tomuto vztahu se také nazývá komplexním vyjádřením Ohmova zákona pro střídavý obvod v ustáleném stavu. Tento vztah umožňuje aplikovat metody řešení stacionárních obvodů také na střídavé obvody v ustáleném stavu.
Kirchhoffovy zákony v komplexní symbolice
1. zákon
$ \sum_{k=1}^N Re \hat{I_k}(t) = Re \sum_{k=1}^N \hat{I_k}(t) = \sum_{k=1}^N \bar{I_k}(t) $ ??? Není to spíše $ O = Re \sum_{k=1}^N \hat{I_k}(t) = \sum_{k=1}^N \bar{I_k}(t) $ ???
2.zákon
$ \sum_{k=1}^N \bar{U_e} = \sum_{l=1}^N \bar{Z_l}\bar{I_l} $
Metody řešení obvodů
Pro jednoduché obvody s jedním zdrojem můžeme použít Ohmův zákon (pro stejnosměrné v obyčejném, pro střídavé v komplexním tvaru), kdy sériově řazené odpory (impedance) sčítáme a u paralelně řazených odporů (impedancí) sčítáme převrácené hodnoty.
Složitější (tj. s více zdroji) obvody v ustáleném stavu můžeme řešit.
- 1 přímou aplikací Kirchhoffových pravidel (použijeme I. Kirchhoffovo pravidlo a vzniklé rovnice doplníme II. Kirchhoffovým pravidlem tak, aby rovnice ve vzniklé soustavy byly lineárně nezávislé)
- 2 metodou smyčkových proudů (každé smyčce přiřadíme proud a skutečné proudy v jednotlivých větvích jsou superpozicí smyčkových proudů (v podstatě I. Kirchhoffův zákon), pak pro vybrané nezávislé smyčky sestavíme rovnice využitím II. Kirchhoffova pravidla)
- 3 metodou uzlových napětí (sestavujeme rovnice pro jednotlivé uzly pomocí I. Kirchhoffova pravidla)
- 4 Thévéninova věta (proud libovolnou větví se nezmění, jestliže tuto větev vyjmeme z obvodu a připojíme ji ke zdroji, jehož elektromotorické napětí je rovno napětí, které zbude na uzlech po vyjmutí větve, a jehož vnitřní impedance je rovna impedanci daného obvodu mezi těmito uzly po nahrazení všech zdrojů jejich vnitřními impedancemi)
Jouleův zákon
Změny vnitřní energie vodičů způsobené průchodem proudu vedou ke zvýšení jejich teploty a k tepelné výměně mezi vodiči a okolím. Takto přenesená energie se nazývá Jouleovo teplo. Tepelný výkon P vznikající ve vodiče protékaného proudem, na němž je napětí U, je dán vztahem
$ P = UI = \frac{U^2}{R} = RI^2 $
hustota výkonu je pak dána vztahem
$ \mathbf{n = j\cdot E} $
U střídavých obvodů se nevyužívá celá část výkonu UI. Kolik výkonu se spotřebuje určuje
účiník: $ \cos \phi $,
kde $ \phi $ je rozdíl fáze proudu a napětí – dle předešlého značení $ \phi = \phi_U - \phi_I $. (Na pořadí v rozdílu nezáleží, protože kosinus je sudá funkce.)
Mimo komplexní symboliky je vhodnou pomůckou i fázorový diagram, který je mnohdy rychlejší a míň matoucí (alespoň pro mne). Podle potřeby se jedním pevným směrem vynáší velikost proudu (zapojení v sérii), nebo napětí (paralelní zapojení). Druhá veličina se pak vynáší příslušně posunuta a vše se vektorově skládá. Úhel $ \phi $, který se cpe do účiníku je pak hezky vidět.
Pro ty kdo neznají oplzlou pomůcku, jak rychle kreslit diagram: Jak je to s cívkou? Jako s dívkou: Nejdřív napětí a potom proud. A s kapacitou je to opačně.
