Optické transformace a optické zpracování informace

Státnice - Fyzika NMgr: Seznam okruhů#4. Vlnová optika

Doporučuji si přečíst jako úvod Studijní text k ZFP. f(x,y)<->F(ν_x,ν_y).

f(x, y)=∫R∫R F(νx,νy) exp(+2πi(νxx+ νyy)) dνx dνy
F(νx,νy)=∫R∫R f(x, y) exp(-2πi(νxx+ νyy)) dx dy

Pozn.: Rovinná harmonická monochromatická vlna (RHMV): U(x,y,z,t)=A exp(-i(ωt-k∙r)); U=komplexní analytický signál. Omezíme se pouze na prostorovou závislost v z=0: U(x,y)=A exp(+i (k_xx + k_yy)) = A exp(+i(ν_xx+ ν_yy)). Tedy:

νi = ki/2π = prostorové frekvence; [νi] = cyklus/metr a ki jsou prostorové úhlové frekvence; [ki]= rad/m

Budeme počítat (jako v geometrické optice s paraxiálními paprsky) RHMV takové, že se šíří téměř ve směru osy z a složíme skutečnou vlnu jako jejich superpozici (ty skládané RHMV mají různé směry šíření a různé amplitudy, ale STEJNÉ BARVY [shodné vlnové délky=shodné frekvence]). Z principu superpozice plyne, že pokud umím spočíst odezvu systému na RHMV, pak:

1. Vstupní vlnu rozložím na několik RHMV (viz začátek stránky)
2. Tyto vlny nechám projít nebo odrazit od systému (to umím spočíst)
3. Výstup zase sečtu a mám výsledek

Jak na to skládání? Ozn. θ_x = úhel mezi rovinou (yz) a vektorem šíření RHMV k = arcsin(k_x/|k|). Samozřejmě |k| = 2π/λ je velikost vlnového vektoru; všechny RHMV (ze kterých skládám tu skutečnou) mají |k| stejné (protože mají stejnou barvu). V rovině z=0: U(x,y,0)=A exp(+i (k_xx + k_yy)) = A exp(+2πi(ν_xx+ ν_yy)), proto θ_x = arcsin(k_x/|k|) = arcsin(ν_xλ) = arcsin(λ/Λ_x). Označili jsme Λ_x = 1/ν_x.

U paraxiáních paprsků: θ_x i θ_y jsou malé => lze θ_x = λ/Λ_x (analogicky pro θ_y).

Pozn.: θx i θy závisejí na barvě použitého světla.

Amplitudová modulace

• Mějme prvek s propustností danou f₀(x,y). Spočítám F₀(ν_x, ν_y)=FT(f₀) [FT značí Fourierovu transformaci]
• Další výpočet je založen na předpokladu, že f₀ má velké prostorové periody [tzn. Δν_x i Δν_y jsou malé, Δν je rozptyl prostorových frekvencí]
• Vezmu jiný optický element, jehož propustnost je dána vztahem f₁(x,y)=f₀(x,y)exp(+2πi(ν_x0x+ ν_y0y)), kde Δν_x << ν_x0 a Δν_y << ν_y0. Tzn. f₀ je vzhledem k exponenciele pomalu se měnící funkce => f₀ je modulovaná amplituda vlny [té komplexní exponenciely].
• Nyní spočítám F₁(ν_x, ν_y)=FT(f₁) a vyjde, že F₁(ν_x, ν_y) = F₀(ν_x - ν_x0, ν_y - ν_y0). To je patrné už z posunovacího teorému (když funkci času vynásobím faktorem exp(-2iπνt), pak její FT dává funkční hodnoty o ν posunuté: FT[f exp(-2iπνt)](ν₀) = FT[f](ν₀+ν) )

Pozn.: Mřížka sama o sobě díky difrakci velice názorně odchýlí RHMV o úhel θx = d/λ (a to na obě strany). Již z tohoto experimentu je patrné, že optika umí "spočítat" Fourierovu transformaci velice rychle a "zadarmo".

Obecně, pokud podrobněji propočteme spoustu rovností a integrálů a možná i derivací, zjistíme následující věc:

Pokud objekt počmáráme soustavou rovnoběžných čar, pak se všechny jeho prostorové úhly posunou o θx = d/λ, kde d=vzdálenost čar a λ=vlnová délka použitého světla (barva). Tato vzdálenost d musí být o hodně menší, než typické rozměry počmáraného objektu.

Příklady:

• sférická čočka s ohniskovou vzdáleností f má f(x,y)=exp(-iπ(x²+y²)/λf)
• Fresnellova zónová deska: f(x,y)=1 tam, kde cos(π(x²+y²)/λf)>0 a f(x,y)=0 jinde
• Vypuštění tygra z klece
• Soustava nekonečně mnoha štěrbin by měla difrakční obrazec pouze dva body, do kterých by bylo soustředěno všechno příchozí světlo. Zde však selhává představa místa, do kterého toto soustředěné světlo dopadne - není zde nic, jako prostředek mřížky