Bakalářská státnice - Determinanty

bc. Informatika

Okruh požadavků Základy matematiky

Tato stránka není kompletní a/nebo může obsahovat chyby!

V lineární algebře je determinant zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár det A.

Determinantem čtvercové matice řádu n nazýváme součet všech součinů n prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý součin přitom násobíme čísly r a s, kde r představuje znaménko příslušného pořadí prvních indexů a s znaménko příslušného pořadí druhých indexů.

Všeobecná definice a výpočet

Nechť $ A = (a^i_j) $ je čtvercová matice.

Matice řádu 1

Pokud A je matice 1×1, je

$ det A = a^1_1 $

Determinant matice prvního řádu je tedy roven hodnotě jediného prvku této matice.

Matice řádu 2

Pokud A je matice 2×2, je

$ det A = a^1_1 a^2_2 - a^2_1 a^1_2 $

Matice řádu 3

Pro matici A typu 3×3 je vzorec složitější:

$ det A = a^1_1 a^2_2 a^3_3 + a^1_3 a^2_1 a^3_2 + a^1_2 a^2_3 a^3_1 - a^1_3 a^2_2 a^3_2 - a^1_1 a^2_3 a^3_2 - a^1_2 a^2_1 a^3_3 $

Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Matice vyšších řádů

Pro obecnou matici n×n determinant definoval Gottfried Leibniz pomocí Leibnizova vzorce:

$ det A = \sum_{\sigma=S_n}sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a^i_{\sigma(i)} $

Suma se počítá přes všechny permutace σ čísel {1,2,…,n} a sgn(σ) značí znaménko permutace σ: +1, pokud σ je sudá permutace, a −1, pokud je lichá.

Tento vzorec obsahuje n! (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem n rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu. Obecný vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu $ \epsilon_{{j_1}{j_2}...{j_n}} $jako

$ det A = \sum_{{j_1},{j_2},...,{j_n}}\epsilon_{{j_1}{j_2}...{j_n}} a_{1 j_1}a_{2 j_2} ... a_{n j_n} = \sum_{{j_1},{j_2},...,{j_n}}\epsilon_{{j_1}{j_2}...{j_n}} a_{j_1 1}a_{j_2 2} ... a_{j_n n} $

Postupy výpočtu

Gaussova eliminace

Gaussova metoda spočívá v provedení takových úprav matice, které nemění hodnotu determinantu, ale zjednoduší výpočet jeho hodnoty. Cílem prováděných úprav je získat trojúhelníkovou matici A (tedy pro i > j je $ a^i_j = 0 $), neboť platí

$ det A = a^1_1 a^2_2 ... a^n_n $,

tzn. determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály matice.

Při úpravách matice pro výpočet determinantu postupujeme podle těchto pravidel:

• Pokud B vznikne z A výměnnou dvou řádku nebo sloupců potom $ det B = -det A $
• Pokud B vznikne z A vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom $ det B = c.det A $
• Pokud B vznikne z A přičtením násobku jednoho řádku k jinému, nebo přidáním násobku sloupce k jinému sloupci potom $ det B = det A $

Opakovaným použitím uvedených pravidel převedeme matici na matici trojúhelníkovou a pro tu poté snadno spočteme determinant.

Minor

Mějme čtvercovou matici $ A_{ij} $, kterou získáme z matice A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce. Determinant matice $ A_{ij} $, tzn. $ det A_{ij} $ nazýváme subdeterminantem (též minorem) příslušným k prvku $ a_{ij} $ matice A.

Algebraickým doplňkem nebo také kofaktorem nazýváme číslo $ A_{ij} = (-1)^{i+j}det A_{ij} $

Výpočet determinantu rozvojem podle řádků (sloupců)

Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu n-tého řádu. Pro libovolné (pevně dané) i lze determinant matice A vyjádřit pomocí algebraických doplňků jako

$ det A = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} $

Tento postup je označován jako rozvoj (rozklad) determinantu podle i-tého řádku. Ekvivalentně lze determinant vyjádřit rozvojem (rozkladem) podle j-tého sloupce.

Geometrický význam determinantu

Matice řádu 2

Matice 2×2

$ A = \begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix} $

má determinant

$ det A = ad - bc $.

Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), $ a_1=(a,c) $ $ a_2 = (b, d) $ a $ (a+b, c+d) $. Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů $ a_1 $ a $ a_2 $. det A je kladný, pokud úhel mezi vektory $ a_1 $ a $ a_2 $ měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) menší než π, a záporný, pokud je tento úhel větší než π.

Matice řádu 3

Podobný geometrický význam jako pro matici řádu 2 najdeme i pro matice $ B = (b^i_j) $ řádu 3. Řádkové vektory

$ b_1 = (b^1_1, b^1_2, b^1_3), b2 = (b^2_1, b^2_2, b^2_3), b3 = (b^3_1, b^3_2, b^3_3) $

určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven |det B|. Pokud je det B kladný, tak je posloupnost vektorů $ b_1, b_2, b_3 $ pravotočivá, a levotočivá, pokud je det B záporný.

Matice vyšších řádů

I v reálných prostorech vyšších řádů lze determinant chápat jako objem obecného n-rozměrného rovnoběžnostěnu, případně jako pravotočivost, respektive levotočivost posloupnosti $ b_1, b_2, ..., b_n $.

Pravotočivá a levotočivá soustava prostorových kartézských souřadnic

Představte si, že v místě, kde stojíte, je počátek prostorové kartézské soustavy. Osa x nechť směřuje přímo vpřed (směrem, kterým se díváte), osa y nechť směřuje vlevo a osa z nechť směřuje vzhůru. Taková soustava se nazývá pravotočivá souřadná soustava.

Zaměníme-li osy x a y, získáme souřadnou soustavu levotočivou.

Obvykle se pracuje s pravotočivou souřadnou soustavou.

Inverzní matice k dané matici je taková matice, která po vynásobení původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů užité matematiky.

Inverzní matici k matici A značíme $ A^{-1} $.

Vynásobením matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.

$ A.A^{-1} = A^{-1}.A = 1 $

kde 1 je jednotková matice.

Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici.

Výpočet inverzní matice

Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gaussova eliminace podle následujícího postupu:

1. Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a jednotkovou matici.
2. Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby:
   • záměna řádků
   • vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
   • přičtení jednoho řádku k jinému
3. Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.
4. Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Pro zvýšení numerické přesnosti se pří faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.

Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Postup

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejný počet neznámých jako je počet rovnic. Označme matici soustavy A. Dále označme $ A_i $jako matici, kterou získáme z matice A, nahradíme-li v ní i-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

$ A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ...\\a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} $ $ B=\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\... \\b_m \end{pmatrix} $

pak má tvar

$ A_i= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{m,i-1} & b_m & a_{m,i+1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} $

Pokud je determinant matice soustavy nenulový, $ det A \neq 0 $, tzn. matice je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

$ x_i = \frac{det A_i}{det A} $

pro i = 1,2,...,n.

Příklad

Úkolem je řešit soustavu rovnic

$ x + y = 3 $
$ x - 2y = 1 $

Determinant matice soustavy je

$ det A = \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{vmatrix} = -3 $

Poněvadž je $ det A \neq 0 $, lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

$ det A_1 = \begin{vmatrix}3 & 1 \\ 1 & -2\end{vmatrix} = -7 $
$ det A_2 = \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = -2 $

Řešení má tedy tvar

$ x = \frac{det A_1}{det A} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3} $
$ y = \frac{det A_2}{det A} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} $

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

Odkazy

Definice a základní vlastnosti determinantu.

• Definice permutace a znamínka permutace (kvůli dalším definicím). (zdroje: Pultrova skripta X.1.7 a X.1.10 / Tůmovy skripta, kap. 9 / wikipedie a wikipedie)
• Definice determinantu. (zdroje: Pultrova skripta X.2.1 / wikipedie)
• Determinant po transpozici a po permutaci. (zdroj: Pultrova skripta X.2.3)
• Determinant s 2 stejnými řádky / sloupci. (zdroj: Pultrova skripta X.2.3.důsledek)
• Determinant jako lineární funkce každého řádku své matice. (zdroj: Pultrova skripta X.2.4)
• Přičtení lineární kombinace řádků (sloupců) k řádku (sloupci). (zdroj: Pultrova skripta X.2.5)
• Determinant trojuholníkové matice. (zdroj: Pultrova skripta X.2.6)

Úpravy determinantů, výpočet.

• Úpravy determinantů, výpočet. (zdroj: Pultrova skripta X.2.7)

Geometrický smysl determinantu.

• Determinant a objem rovnoběžnostěnu. (zdroje: Pultrova skripta X.5.4 / wikipedie)
  • ON matice zachovává vzdálenosti bodů. (zdroj: Pultrova skripta X.5.2)
  • K regulérní matici existuje ON matice, že po vynásobení dají trojuhelníkovou. (zdroj: Pultrova skripta X.5.3)

Minory a inversní matice.

• Definice minoru (a algebraického doplňku). (zdroje: Pultrova skripta X.3.1 / wikipedie)
• Determinant matice při nahrazení řádku (sloupce). (zdroj: Pultrova skripta X.3.2)
• Výpočet determinantu pomocí minorů. (zdroje: Pultrova skripta X.3.3 / wikipedie)
• Výpočet inversní matice pomocí minorů. (zdroj: Pultrova skripta X.3.4)

Cramerovo pravidlo.

• Cramerovo pravidlo na výpočet soustavy. (zdroje: Pultrova skripta X.3.5 / wikipedie)