Liouvilleova rovnice

Moment hybnosti pro složené těleso

$ \vec L = \sum \vec r_i \times m_i \vec v_i $

a Resalův teorém + $ \vec u_i = d\vec r_i / dt $

$ \vec L = \sum m_i \vec r_i \times \vec u_i + \sum m_i \vec r_i \times( \omega \times \vec r_i) $

moment setrvačnosti nechť je

$ \vec L = \int_V \rho (\vec r \times \vec u) dV + \omega \int_V \rho \vec r \cdot \vec r dV - \int_V \rho \vec r (\vec r \cdot \omega ) dV $

ve složkách

$ L_i(t) = I_{ij}(t)\omega_j(t)+h_i(t)\ $

a Liouvilleova rovnice pak zní

$ d/dt (I_{ij}\omega_j+h_j)+\epsilon_{ijk} \omega_j(I_{kl}\omega_l+h_k) = N_i $

Jestliže přepíšeme tenzor momentu setrvačnosti do hlavních os, pak pokud jsou jeho hlavní momenty konstanty a variace h je nulová, pak přejde Liouvilleova rovnice do Eulerových dynamických rovnic

$ A \frac{d\omega_1}{dt}-(B-C)\omega_2\omega_3 = N_1 $

$ B \frac{d\omega_2}{dt}-(C-A)\omega_3\omega_1 = N_2 $

$ C \frac{d\omega_3}{dt}-(A-B)\omega_1\omega_2 = N_3 $