19. Atomové jádro

Sylabus

Atomové jádro: Základní vlastnosti a charakteristiky atomového jádra. Vazbové síly, vazbová energie jader. Radioaktivita. Jaderné reakce.

Státní závěrečná zkouška

Atomové jádro

Z Rutherfordova experimentu přesvědčivě vyplynulo, že atomy mají kladně nabitá jádra o velikosti řádově $ 10^{-15}m $ a nesou většinu hmotnosti atomu. Při rozboru prvních jaderných reakcí se dospělo k závěru, že atomové jádro je tvořeno protony a neutrony.

	proton	neutron
hmotnost v kg	1,67262 $ 10^{-27} $	1,67494 $ 10^{-27} $
klidová energie v MeV	938,272	939,565
střední doba života	$ > 10^{32} $ let	896 s
spin	$ \frac{1}{2} $	$ \frac{1}{2} $
parita	1	1
elektrický náboj	e	0
poměr magnetického momentu k jadernému magnetonu $ \mu_{N} $	2,793	-1,913
izospin	$ \frac{1}{2} $	$ \frac{1}{2} $
z-ová složka izospinu	$ \frac{1}{2} $	$ -\frac{1}{2} $

Proton a neutron lze chápat jako dva stavy jediné částice - nukleonu, rozlišené průmětem izospinu T do osy z. Izospin má stejné matematické vlastnosti jako spin, je také axiálním vektorem, ale na rozdíl od spinu ne ve skutečném, ale v izotopickém prostoru.

Základní vlastnosti a charakteristiky atomového jádra

Strukturu jádra charakterizují tři čísla:

• $ \mathbf{Z}....... $Atomové číslo udává počet protonů v jádře, počet elektronů v obalu atomu, pořadové číslo v periodické tabulce prvků.
• $ \mathbf{N}....... $Neutronové číslo udává počet neutronů v jádře.
• $ \mathbf{A}....... $Hmotnostní (nukleonové) číslo udává počet všech nukleonů v jádře.

Platí:

$ \mathbf{A = Z + N } $

Pro rozlišení struktury atomového jádra tavádíme následující pojmy:

• Nuklid je látka, jejíž atomová jádra mají stejné A a N.

Označuje se symbolem $ ^{A}_{Z} X $, kde X je chemická značka prvku. Tato značka se používá i pro příslušné jádro.

• Izotopy jsou jádra se stejným Z ale různým N. Příklad - izotopy vodíku jsou deuterium a tritium.

• Izobar jsou jádra se stejným A ale různým Z.
• Izoton jsou jádra se stejným N ale různým Z.

• Radionuklid nuklid s nestabilními jádry, která se rozpadají.

Další veličiny, které charakterizují atomové jádro jsou: hmotnost, náboj, střední poloměr jádra, spin, parita, magnetický moment, izospin, u nestabilních jader ještě poločas rozpadu.

Rozměr jádra

Jádro je mikroskopická částice, jeho rozměr lze určit jen jako střední hodnotu veličiny, která má určité statistické rozložení.

Rutherfordův odhad poloměru jádra - klasický přístup

Z Rutherfordova experimentu, kde se uvažovala jen Coulombická interakce mezi jádrem a částicí, se $ \alpha $ částice mohla k jádru přiblížit nejvíce na vzdálenost

$ r_{0} = \frac{\alpha_0}{E_{\alpha}} $,

kde $ \alpha_0 = \frac{2Ze^2}{4 \pi \epsilon_0} $ viz Ruthefordovova formule pro rozptyl

Této minimální vzdálenosti dosáhne částice při čelní srážce, tj pro úhel rozptylu $ \theta = \pi $.

Když se dostatečně zvýší energie nalétávající částice, tak se začnou projevovat Jaderné síly a Rutherfordova formule už nebude dávat dobré výsledky. Ze známé energie a úhlu rozptylu, kde se už začnou projevovat odchylky od Rutherfordova vztahu, lze experimentálně určit dosah jaderných sil:

$ R = r_0 A^{\frac{1}{3}} $,

kde $ r_0 \approx 1,52. 10^{-15} m $.

Veličinu $ r_0 $ lze určit i z pružného rozptylu elektronů v jádře:

Uvažujme Coulombickou elektrostatickou energii jádra, ta je dána vztahem:

$ E_C = \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r})\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} dV dV' $

K určení závislosti poloměru na energii(poloměru na hmotnostním čísle) je potřeba tento integrál spočíst, tedy znát rozložení hustoty náboje v jádře. Toto lze zjistit pomocí pružných srážek elektronů s jádry.

Diferenciální účinný průřez pro kvantový rozptyl, když nedojde k excitaci jádra, je:

$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_M |F(\mathbf{q})|^2 $, kde indexem M je označen průřez na bodovém jádře, $ F(\mathbf{q}) $ je strukturní faktor (formfaktor), který charakterizuje nábojovou hustotu jádra.

Experimentálně získáme formfaktor a z něj určíme nábojovou hustotu jádra:

$ \rho(\mathbf{r}) = \frac{\rho_0}{1+ exp(\frac{r - c}{z})} $ (Saxon-Woodsovo rozdělení)

parametr z udává rychlost poklesu $ \rho(\mathbf{r}) $ u povrchu jádra a pro c platí: $ c= 1,05.10^{-15}A^{\frac{1}{3}} $.

Pak střední hodnota poloměru jádra je:

$ \bar{R} = \frac{1}{Ze}\int_{0}^{\infty} r \rho(r)4 \pi r^2 dr $

Spin, parita a izospin atomového jádra

Spin

Spin atomového jádra chápeme jako jeho vlastní moment hybnosti v základním energetickém stavu jádra.

Jeho hodnota se získá složením spinů všech nukleonů a jejich orbitálních momentů hybnosti dle pravidel o skládání momentů hybnosti. Excitovaný stav jádra lze také charakterizovat spinem, který se může odlišovat od spinu v základním stavu.

Velikost spinu charakterizujeme kvantovým číslem I a pro jeho kvadrát platí(což je obdoba vztahu pro moment hybnosti $ L $):

$ \mathbf{I}^2 = \hbar^2 I(I+1) $

Podle hodnot I se jádro chová jako:

• Boson, když I = n, n = 0,1,2,3...
• Fermion, když I = n + 1/2

Průmět spinu do směru osy z:

$ I_{z}=M\hbar $ kde M = -I,..,0,..,I.

Spiny vzbuzených jader se určují ze zákona zachování momentu hybnosti v $ \beta $ rozpadu, elektromagnetických přechodech a v jaderných reakcích.

Parita

Parita stavu říká, jak se změní stav při změně $ x \longrightarrow -x $ pro konkrétní veličinu x. V klasické fyzice se parita nezavádí, protože pohybové zákony klasických oblastí fyziky jsou invariantní vůči takovým transformacím souřadnic. Kvantová fyzika zavádí operátor parity, který vrací funkci(veličinu) v transformovaných souřadnicích.

Parita systému složených z navzájem neinteragujících podsystémů je dána vztahem $ P = \prod^{n}_{i=1}(-1)^{l_i} $

kde $ l_i $ jsou vedlejší kvantová čísla jednotlivých podstavů, $ (-1)^{l_i} $ lze pokládat za vlastní čísla operátoru parity.

Vnitřní parita je parita, kterou má částice, když je v klidu. Pro systémy částic je to parita systému, kde je celková hybnost 0.

Parita atomového jádra je jeho vnitřní parita, coby systému částic.

Pokud parita excitovaného jádra je stejná jako jeho parita v základním stavu, mluvíme o jádrech s normální paritou, pokud je jiná, jádro má nenormální paritu. Stavy s nenormální paritou mají většinou vyšší energii, než stavy s normální paritou.

Zákon zachování parity: Při jaderných reakcích, rozpadech $ \alpha $ a přechodech $ \gamma $ se parita celého systému zachovává, tj. parita počátečního a koncového stavu je stejná.

Důsledkem existence parity je nulovost elektrického dipólového momentu jádra, protože $ \rho(\mathbf{r})= |\psi(\mathbf{r})|^2 = \rho(\mathbf{-r}) $ je sudá funkce, tedy elektrický dipólový moment je dán integrálem z liché funkce přes symetrický interval"

$ \mathbf{d}=\int \mathbf{r}\rho(\mathbf{r})dV $

Proto elektrické vlastnosti lze vedle jeho celkového náboje popsat až s pomocí elektrického kvadrupólového momentu.

Izotopický spin = Izospin

Nukleonům připisujeme izospin $ T = \frac{1}{2} $ s projekcí do směru osy z

• $ T_z = \frac{1}{2} $ pro proton,
• $ T_z = -\frac{1}{2} $ pro neutron.

Izospin jádra se určuje podle pravidel skládání momentu hybnosti, jeho hodnota je

• $ T = n $

n = 0,1,2... pro A sudé,

• $ T = n +\frac{1}{2} $ pro A liché.

Projekce celkového izospinu jádra je dána jako součet projekcí izospinů jednotlivých nukleonů:

$ T_z = \frac{1}{2}(Z-N) $

Zavedení izospinu dalo podnět k vyslovení hypotézy o nábojové nezávislosti jaderných sil:

Jaderné síly nezávisejí na $ T_z $, tedy jde o zákon zachování projekce izospinu. (Ten platí pokud uvažujeme jen silnou interakci a ne $ \beta $ rozpady, kdy se neutron mění na proton)

Magnetický moment jádra

Potenciální energie magnetického dipólu ve vnějším magnetickém poli o indukci $ \mathbf{B} $ je

$ U = - \mathbf{\mu B} $

Mezi momentem hybnosti $ \mathbf{L} $ a magnetickým momentem nabité částice v EM poli platí vztah

$ \gamma \mathbf{L}=-\mathbf{L}\frac{Z}{2m}= \mathbf{\mu} $

kde $ \gamma $ je gyromagnetický poměr.

Moment hybnosti jádra v klidu je roven jeho spinu $ \mathbf{I} $, jeho velikost je dána kvantovým číslem I a projekce kvantovým číslem M.

Magnetický moment jádra se definuje pomocí jeho projekce $ \mu_z = \gamma \hbar M $ tak, že:

$ \mu = \gamma \hbar I $ kde I je největší hodnota M = -I,..,0,..I .

V homogenním magnetickém poli bude potenciální energie magnetického momentu jádra rovna

$ U = -\mu_z B = \mu B \frac{M}{I} $

pokud chceme stimulovat energetický přechod jádra o 1 hladinu ($ \Delta M = 1 $) musíme na něj působit EM polem tak, že

$ \hbar \omega = \frac{\mu B}{I} $

Hmotnost jádra

Klidovou hmotnost jádra udáváme ve hmotnostních jednotkách u, definovaných jako $ \frac{1}{12} ^{12}_{6}C $

$ u = 1,66054.10^{-27} kg $,

jednotka klidové energie je pak

$ uc^2 = 931,49432 MeV $.

Hmotnost atomového jádra $ M(A,Z) $ souvisí s hmotností atomu $ m(^{A}_{Z} X) $ vztahem

$ m(^{A}_{Z} X) = M(A,Z) + Zm_e - B(A,Z) $,

kde $ B(A,Z) $ je hmotnostní úbytek a $ B(A,Z)c^2 $ je vazbová energie.

Platí:

$ B(A,Z) = Zm_p + Zm_n - M(A,Z) $.

Vazbové síly, vazbová energie jader

Vazbová energie charakterizuje, jak moc jsou nukleony v jádře vázány. Definuje se vztahem:

$ W(A,Z) \frac{1}{c^2} = B(A,Z) = Zm_p + Nm_n - M(A,Z) $

kde M(A,Z) je hmotnost jádra, B(A,Z) nazýváme hmotnostním úbytkem.

Linie stability

Existuje asi 350 nuklidů stabilních na $ \beta $ rozpad (rok 1990). Každému z nich přiřadíme bod v rovině (Z,N). Dostaneme pás (linii) stability. Jádra nad touto linií se samovolně rozpadají $ \beta^{-} $ rozpadem, pod touto linií se rozpadají $ \beta^{+} $ rozpadem.

Toto bylo experimentálně zjištěno. Linie má přibližně tvar přímky $ pro A < 40 $, což lze vsvětlit Pauliho principem: Tam, kde je víc neutronů, tyto neutrony obsazují vyšší energetické hladiny, rozpad $ \beta^{-} $ pak umožnuje neutronu stát se protonem a přejít tak do nižšího energetického stavu. Pro velká A se linie stability stáčí vzůru - ve stabilních nuklidech se začne projevovat Coulombiké odpuzování mezi protony a stabilní jádra tak budou obsahovat méně protonů než neutronů.

Závislost Vazbové energie na jeden nukleon na A

Vazbová energie na jeden nukleon je

$ \epsilon = \frac{W(A,Z)}{A} $

• pro A < 16 rychle roste
• má maxima v bodech A = 4,12,16,20,24
• pro A > 16 mezi 7,4 MeV a 8,8 MeV je skoro konstantní, tedy

$ W(A,Z)\approx A $

• klesá z maximální hodnoty 8,8 MeV pro A přibližně 60, to je projev Coulombického odpuzování

Bylo experimentálně objeveno, že stabilita jader závisí na sudosti a lichosti příslušných čísel:

Z	N	Počet stabilních nuklidů (rok 1990)
even	even	165
even	odd	55
odd	even	50
odd	odd	4

Závislost vazbové energie na číslech A a Z lze popsat aproximativními formulemi

Kapkový model

Jinak známý jako Weizackerova a Fermiho formule, považuje jádro za kapku těžko stlačitelné kapaliny. Z toho plyne vztah mezi objemem jádra a počtem nukleonů:

$ R = r_0 A^{\frac{1}{3}} $ Optimální hodnota $ r_0 $ je kolem $ 1,5.10^{-15} m $

Formule kapkového kodelu jádra zní:

$ B(A,Z) = a_v A - a_s A^{\frac{2}{3}} - a_c \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} - a_a \frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A,Z) \frac{1}{A^{\frac{3}{4}}} $

kde příslušné parametry jsou

$ a_v $ = 15,75 MeV

$ a_s $ = 17,8 MeV

$ a_c $ = 0,71 MeV

$ a_a $ = 23,7 MeV

a kde $ \delta $ je

34 MeV	pro sudo-sudá jádra
0	pro A liché
-34 MeV	pro licho-lichá jádra

První člen je objemová energie jádra, druhý vystihuje skutečnost, že nukleony na povrchu jsou méně vázané, třetí vyjadřuje elektrostatické odpuzování protonů. Čtvrtý člen vyjadřuje snahu o vyrovnání počtu protonů a neutronů (symetrizační člen, nulový pro $ Z=A/2 $, tedy i $ N=A/2 $=> nejstabilnější), pátý člen se nedá v rámci kapkového modelu vysvětlit, souvisí s párováním protonů a neutronů v jádře (každý druh zvlášť, nejstabilnější pro sudé počty, směřuje to už k slupkovému modelu).

Slupkový model

Kapkový model dostatečně nevystihuje kvantový charakter systému, nevysvětluje tzv. magická čísla 2,8,20,28,50,82,126. To jsou počty neutronů nebo protonů význačně stabilních jader. Ve slupkovém modelu považujeme nukleony za nezávislé - interagují s polem, které vytvářejí ostatní. Pro jeden nukleon uvažujme hamiltonián oscilátoru:

$ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m \omega r^2 $

Vlnová funkce pro jeden nukleon bude mít tvar $ \psi = R_{l}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) $ Máme tři rozměry, takže energie jsou $ E_n = \hbar \omega(n + \frac{3}{2}) $, kde $ n = 2n_r +l $, $ n_r $ je radiální kvantové číslo. Uvažujme protony, ty musí splňovat Pauliho princip - mohou být maximálně dva (2 různé průměty spinu 1/2) ve stejném stavu, popsaném třemi kvantovými čísly. Pro $ n=0 $ máme stav s, v něm se mohou nacházet nejvýše 2 protony, pro $ n=1 $ tedy $ n_r=0 $ a $ l=1 $ máme stav p, kde $ m=+-1 $ nebo $ 0 $, tady bude maximálně 2+6 = 8 částic. Tento model ještě vyhovuje pro magické číslo 20, ale pak už ne.

Lepší model, který uvažuje oscilátor s vazbou mezi spinem nukleonu a jeho orbitálním momentem hybnosti, je

$ H = \frac{p^2}{2m} + U(r) + \frac{b}{r}\frac{dU(\mathbf{sl})}{dr} $

kde b je parametr, s je spin a l je orbitální moment hybnosti. Jako potenciál U se velmi často používá Woodsův - Saxův $ U(r)=-\frac{U_0}{1+e^{\frac{(r-R)}{a}}} $, kde R,a jsou parametry.

Spin-orbitálna interakcia spôsobí, že sa pôvodné energetické hladiny harm. oscilátora rozštiepia v závislosti na $ l $ a niektoré z nich prejdu až do susednej slupky, čím zmenia počet jej stavov, t.j. ovplyvnia magické číslo.

Slupkový model pekne popisuje vlastnosti jadier s počtom nukleónov = mag. číslo $ \pm1 $, pretože zaplnená slupka je v stave $ 0^+ $ a spin a paritu celého jadra udáva chýbajúci/nadbytočný nukleón.

Jaderné reakce

Státní závěrečná zkouška