Numerická matematika
| Numerická matematika | ||||
|
Otázky ke zkoušce
1. Chyba Lagrangeovy interpolace
2. Konstrukce přirozeného kubického spline
3. Řád kvadraturní formule
4. Odvoďte Newton-Cotesův vzorec
5. Odvoďte Rombergův kvadraturní vzorec, který aproximuje hodnotu I(f) s chybou O(h4). Vysvětlete význam Lagrangeova interpolačního polynomu při konstrukci Rombergova kvadraturního vzorce.
6. Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 2n + 1 na intervalu [a, b]. Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 3 na intervalu [−1, 1] (uvažujte ortogonální polynomy $ \left\{1, x, x^2 - \frac{1}{3}\right\} $).
7. Odvoďte Newtonovu metodu pro soustavy nelineárních rovnic a její algoritmizaci. Popište algoritmus v případě jedné skalární rovnice.
8. Dokažte větu o konvergenci Newtonovy metody.
9. Odvoďte Newtonovu-Hornerovu metodu nalezení kořene polynomu.
10. Zdůvodněte odhad počtu operací v Gaußově eliminaci.
11. Odvoďte vzorce pro konstrukci LU rozkladu matice A.
12. Odvoďte Jacobiho, Gaußovu–Seidelovu a SOR metodu pro řešení úlohy Ax = b. Zapište je maticově a rozepsané do složek bez použití inverze matic.
13. Dokažte konvergenci mocninné metody pro výpočet dominantního vlastního čísla matice A.
14. Odvoďte Eulerovu metodu pro pro řešení úlohy $ y' = f(x, y) $
15. Odvoďte Rungeovu–Kuttovu metodu 2. řádu.
Úlohy na zápočet
Z výše uvedeného seznamu úlohy (2), (6) a (15). Experimentálně ověřeno, že nestačí popsat pouze jak, ale musí se napsat i proč to funguje...
