Rozměrové vlivy, dimenze soustavy a vliv okrajových podmínek

Státnice - Fyzika NMgr: Seznam okruhů#2. Kvantová teorie molekul a pevných látek

hustota stavů = g(E) = dN/dE = #stavů/rozpětí energií [# = počet] 3D: ΔN ~ 4πk²Δk, E=ℏ²k²/2m => dE = ℏ²/m k => ΔE = ℏ²/m k Δk. Proto dN/dE ~ k ~ √E 2D: ΔN ~ 2πkΔk => dN/dE = konst 1D: ΔN ~ Δk => dN/dE ~ 1/k ~ 1/√E. Protože singularita je "pouze" 1/√E, máme při integrování konečný # stavů. Nezapomeňme, že když E=E(k) je parabola, tak výsledek musíme vynásobit dvěma, protože příspěvek jsme počítali pouze pro k>0 a "zapomněli" jsme započítat příspěvek s k<0

Pozor: v různých dimenzích má g(E) různé jednotky!!!

Jak vytvořit nízkodimenzionální objekt? Na substrát naneseme tenkou vrstvu jiného chemického složení...a máme 2DEG (2D elektronový plyn). Můžeme to i litograficky (pak to lze i 1D a 0D) nebo tuto tenkou vrstvu zlomíme...a máme kvantový drát. Nebo nanesu přesně dva kontakty a elektrickým výbojem mezi nimi udělám kvantový drát.

2DEG: ve směru y a z máme stále Blochovské funkce.

Okrajové podmínky

Born-karnánovy podmínky: mějme krystal o velikosti L. Potom chceme, aby Ψ(r)=Ψ(r+L). Tzn aby Ψ se při posunu o velikost krystalu nezměnilo, a aby i jeho fáze zůstala zachována. Pokud Ψ bylo dosud Blochovskou funkcí, tímto požadavkem dostaneme pouze diskrétní povolené hodnoty vlnového vektoru. Ale protože atomů v krystalu bývá v každém směru mnoho (~10⁷), tak rozdíl dvou sousedních vlnových vektorů je ~10^-9 m^-1, a proto se vlnový vektor bere jako kvazispojitá veličina.

Hustota obsazených stavů = N(E) f(E), kde N = hustota stavů (=g(E)) a f = obsazovací funkce (Fermi-Diracova v případě elektronů). Pozn: Fermiho energie závisí na teplotě. Pokud rozměr struktury klesne pod Bohrův poloměr excitonu (~10a_B), začnou vlastnosti záviset i na této velikosti (tzv. kvantový rozměrový jev, quantum confinement). Kde budou valenční a vodivostní pásy? Dle Andersona: vakuové hladiny (=E nutná k opuštění krystalu = afinita = |spodek E_C - vakuová hladina|) se srovnají. Rozdíl mezi vodivostními pásy pak je χ_A-χ_B. Rozdíl valenčních je ještě zvětšen o rozdíl šířek zakázaných pásů.

Kvantové jámy: existují I. typu (past pro elektrony i pro díry) a II. typu (past pro díry a "kopec" pro elektrony). II. typ: pro snížení pravděpodobnosti rekombinace prostorovou separací jednotlivých nosičů náboje. Ještě existuje III. typ (např. InAs-GaSb), kdy vrcholek valenčního pásu v QW je NAD spodkem vodivostního pásu okolního materiálu. Elektrony pak mohou samovolně přecházet z vodivostního pásu substrátu do valenčního pásu v QW. Říká se tomu "semimetal" (chová se to jako kov). Po určitém čase vznikne rovnováha (vznikne 2DEG).

QW = SQW = quantum well = kvantová jáma. MQW = multiple QW = více kvantových jam.
Supermřížka = MQW s velmi tenkými bariérami => vln. funkce se překrývají.
QWr = quantum wire = kvantový drát (1D struktura)

QW: energie jsou ℏ²k²/2m = ℏ²N²π²/2mL²; N = kvantové číslo, m = hmotnost částice uvnitř QW; L = šířka jámy <x>_i=∫_-L/2<sup<L/2</sup>Ψ_i* x Ψ_i dx = 0 (pokud jáma je od -L/2 do +L/2). Hustota ppsti výskytu = |Ψ|². Ψ=A sin(2Nxπ/L) nebo Ψ=A cos((2N-1)xπ/L); A=√(2/L). Nejpravděpodobnější výskyt: maximum |Ψ|² - určíme z derivace. Lokalizace: Δx² = <(x-<x>)²>. Pro N=1: Δx=0,18L; N=2: Δx = 0,27L. Připomeňme Heisenbergovy relace: ΔxΔp>=ℏ/2. Δx známe => Δp_N=1 >~ ℏ/2 5/L. E=p²/2m ~ Δp²/2m ~ 25 ℏ²/8mL. Srovnejme s energií základního stavu (E_N=1ℏ²π²/2mL²) V kvantových objektech mívá základní stav energii úměrnou L^-2 (důvod: Heisenberg o pár řádků výše)

Hustota stavů

Více viz Základy kvantové teorie pevných látek se zaměřením na elektronovou strukturu a dynamiku elementárních excitací#Hustota stavů Lze obecně odvodit, že g(E) ~ E^(d-2)/2, kde d = počet dimenzí