Energie ve fyzice

rozpracováno

Obecně o energii

Energie je skalární fyzikální veličina, která bývá charakterizována jako schopnost hmoty (látky nebo pole) konat práci. Energie je slovo vytvořené fyziky v polovině devatenáctého století, z řeckého energeia (vůle, síla či schopnost k činům).

Energie můžeme dělit na kinetickou a na energii různého typu vzájemného působení částic.

Jednotka

V soustavě SI má jednotku joule a značku $ \rm J $. Vztah vůči základním jednotkám je $ \rm J = kg\, m^2\, s^{-2} $. V některých případech bývá používáno označení $ \rm N\,m $.

Další používané jednotky různé podle oblasti fyziky, která nás zrovna zajímá

• Pro měření spotřeby elektrických spotřebičů $ \rm kWh $, kde $ \rm 1 \, kWh = 3.6\cdot 10^6 \, J $, s tím, že se používají i $ \rm GWh, TWh $, když se člověk zajímá od elektrárnu apod.
• V jaderné fyzice apod. se používají často elektronvolty $ \rm eV $, $ \rm 1 \, eV = 1.602 \cdot 10^{-19} J $.
• Starší jednotkou, kterou najdete hlavně na obalech od jídla, jsou kalorie $ \rm cal $, resp. kilokalorie $ \rm kcal $. Jedna kalorie je energie nutná k ohřátí gramu vody o $ 1\, \rm °C $ za standardních podmínek, tedy $ \rm 1\, cal = 4.185 \, J $.
• V soustavě CGS se používá jednotka $ \rm erg $, kde $ \rm 1 \, erg = 10^{-7} \, J $.

Další veličiny s rozměrem energie

Veličiny, které se využívají ve fyzice a mají stejný fyzikální rozměr, ale nenazývají se přímo energie jsou například

• Langrangeán/Lagrangián/Lagranžián $ \mathcal L \left( \dot q^i, q^i, t \right) = T\left( \dot q^i, q^i, t \right) - V\left( \dot q^i, q^i, t \right) $, tedy rozdíl kinetické energie $ T $ a potenciální energie $ V $. Využíváme ho hojně v Langrangeových rovnicích druhého druhu (zde verze pro konzervativní síly):

$ \frac{\rm d}{{\rm d} t}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q^i}\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i} = 0 \, . $

• Hamiltonián $ \mathcal H \left( q^i, p_i, t \right) = \sum_{i=1}^{3N} p_i \dot q^i - \mathcal L \left( \dot q^i, q^i, t \right) $, kde $ p_i = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q^i} $ jsou kanonické hybnosti. Pokud Hamiltonián nezávisí explicitně na čase, pak je integrálem pohybu a jde vlastně o zákon zachování energie. Hamiltonián využijeme v Hamiltonových kanonických rovnicích

$ \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} = \dot q_i \, , \quad \frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i} = - \dot p_i $.

Zákon zachování energie (ZZE)

Zákon zachování energie nám říká, že se energie nemůže vytvořit/vzniknout/vyrobit ani zničit/zmizet/zaniknout. Pokud někde pozorujeme úbytek energie, jako například v mechanických systémech, pak se nám energie pouze přeměňuje do jiných forem - tepla, zvuku...

Jako ostatní zákony zachování, souvisí zákon zachování energie se symetrií, v tomto případě času. Matematicky přesnější a obecnější definice se tedy opírá o teorém Emmy Noetherové.

Důsledkem ZZE je, že nelze sestrojit perpetuum mobile prvního druhu. Tedy stroj, který by vykonával práci "z ničeho".

Zákon můžeme vyjádřit jako $ \sum_{i} E_i = {\rm konst.} $

Vztah energie a síly

Síla je u konzervativních polí mínus gradientem potenciální energie. Konkrétně u skalárních polí můžeme psát

$ {\bf F} (\mathbf r ) = - \nabla V(\mathbf r) = \left( \partial_x V(\mathbf r), \partial_y V(\mathbf r), \partial_z V(\mathbf r) \right)^T \, , $

kde $ T $ symbolizuje transpozici, aby byl vektor "sloupeček".

Změnu potenciální energie při přesunu z A do B pro konzervativní síly můžeme vyjádřit jako

$ \Delta V = - \int_{x_A}^{x_B} \mathbf F (\mathbf r ) \cdot \mathrm d \mathbf r = - \int_{x_A}^{x_B} \mathbf F (t) \cdot \mathbf v (t) \mathrm d t \,, $

kde $ \mathbf v (t) = \frac{\mathrm d \mathbf r}{\mathrm d t} $.

Vztah energie a výkonu

Výkon je změna energie za jednotku času. Okamžitý výkon pak můžeme psát jako

$ P = \frac{\mathrm d E}{\mathrm d t} \,. $

Kinetická energie

Kinetická energie je jedním z druhů mechanické energie, kterou má pohybující se těleso. Kinetická energie se obvykle na vysoké škole značí jako $ T $, na střední škole pak $ E_k $, ale jako obvykle se najdou lidí, co ji značí jinak.

Translační

$ E_k = T = \frac{1}{2} m \left( \frac{{\rm d}r}{{\rm d}t} \right)^2 = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{p^2}{2m} \, , $

kde $ m $ je hmotnost tělesa, $ r $ udává polohu tělesa a $ v $ je tedy rychlost $ v = \frac{{\rm d}r}{{\rm d}t} $.

Rotační

$ E_{\rm rot} = \frac{1}{2} I \left( \frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t} \right)^2 = \frac{1}{2} I \omega^2 \, , $

$ I $ je moment setrvačnosti, $ \varphi $ úhel otočení tělesa a $ \omega $ je úhlová rychlost.

Okamžitý výkon při rotaci kolem pevné osy $ z $ je

$ P = M_z \omega_z \, , $

kde $ M_z = r_x F_y - r_y F_x $ je moment síly a $ \omega_z $ je úhlová rychlost.

Klasická mechanika

Potenciální energie polohová - homogenní gravitační pole

Již na střední škole či dříve jste se učili, že potenciální polohová energie tělesa v homogenním gravitačním (nebo případně tíhovém) poli je přímo úměrná výšce vůči nějaké hladině, kterou považujeme za nulovou (např. místo, kde těleso bylo na počátku či podlahu), tedy

$ V = mgh \, , $

kde $ g $ je gravitační zrychlení (konstanta) a $ h $ je výška měřená od nulové hladiny. Toto platí dost dobře, pokud nás zajímá "malá" oblast. Pokud nás zajímají např. pohyby planet, tak musíme uvážit závislost gravitační síly na vzdálenosti od zdroje - viz další bod.

Potenciální energie polohová - radiální gravitační pole

$ V = - G \frac{m_1 m_2}{r} \, , $

kde $ G $ je gravitační konstanta, $ m_1 $ a $ m_2 $ jsou hmotnosti hmotných bodů a $ r $ je jejich vzdálenost.

Energie pružnosti

Pružná potenciální energie závisí na tuhosti pružiny $ k $ a jejím protažení $ y $:

$ E_p = \frac{1}{2} k y^2 \, . $

Speciální teorie relativity

Ve speciální teorii relativity se nám objevuje tzv. klidové energie. Tedy pro každé hmotné těleso můžeme položit energii rovnou její hmotnosti. Jedná se o známý Einsteinův vzoreček

$ E = mc^2, $

tedy přesněji klidová energie je $ E_0 = m_0c^2 $, kde $ m_0 $ je klidová hmotnost. Pokud máme ve vzorci relativistickou hmotnost $ m $, pak vztah obsahuje i kinetickou energii. To, že pro malé rychlosti $ v = \beta c \rightarrow 0 $ si můžeme ukázat takto:

$ E = mc^2 = \gamma m_0c^2 = \sqrt{\frac{1}{1-\beta^2}}m_0 c^2 \, , $

provedeme Taylorův rozvoj pro $ \beta \rightarrow 0 $ do druhého řádu

$ \sqrt{\frac{1}{1-\beta^2}} \approx 1 + \beta \frac{\rm d}{{\rm d} \beta} \left( \sqrt{\frac{1}{1-\beta^2}} \right)_{\beta = 0} + \frac{1}{2} \beta^2 \frac{\rm d^2}{{\rm d} \beta^2} \left( \sqrt{\frac{1}{1-\beta^2}} \right)_{\beta = 0} + O\left(\beta^3 \right) \, . $

Propočítáme si zvlášť derivace:

$ \frac{\rm d}{{\rm d} \beta} \left( \sqrt{\frac{1}{1-\beta^2}} \right)_{\beta = 0} = \left.\frac{\beta}{\left(1 - \beta^2\right)^\frac{3}{2}}\right|_{\beta = 0} = 0 \, , $

$ \frac{\rm d^2}{{\rm d} \beta^2} \left( \sqrt{\frac{1}{1-\beta^2}} \right)_{\beta = 0} = \left.\frac{1 + 2 \beta^2}{\left( 1 - \beta^2\right)^\frac{5}{2}}\right|_{\beta = 0} \, = 1 \, . $

Dostáváme tedy vztah pro energii při malé rychlosti

$ E \approx m_0 c^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \beta^2 \right) = m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 v^2 = E_0 + E_k \, . $

Vidíme tedy, že pro malé rychlosti je relativistická energie součtem klidové energie a kinetické energie, jak ji známe z klasické mechaniky

Kvantová mechanika

Energie jsou vlastní stacionární stavy kvantového systému. Dostáváme je řešením Schrödingerovy bezčasové rovnice $ \hat H \left| \psi_n \right> = E_n \left| \psi_n \right> $.

• Energie kvantového lineárního oscilátoru je $ E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) $. Na rozdíl od klasického oscilátoru má kvantový oscilátor již v základním stavu $ n = 0 $ nenulovou energii.

OTR - Kosmologie

Temná energie

O temné energii se stále dnes mnoho neví. Víme pouze z pozorování vesmíru, že se jeho rychlost rozpínání zvyšuje a to by právě měla mít na svědomí právě temná energie z Einsteinových rovnic $ R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}R g_{\mu \nu}+ \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu \nu} $ pro obecnou relativitu, resp. tedy člen s kosmologickou konstantou $ \Lambda $. Tu Einstein nejprve ve svých rovnicích neměl, posléze ji tam přidal a nakonec zase odebral. Přidal ji, protože chtěl, aby mu vyšel statický vesmír.

Ukazuje se, že pro to, co se děje na "malých" měřítcích, jako je třeba galaxie, kosmologická konstanta vliv nemá, ale na velké kosmologické vzdálenosti vliv má a ovlivňuje tedy to, jak se vesmír rozpíná.

Jako temná energie se označuje spíše v uspořádání rovnice, kde je na pravé straně $ G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}R g_{\mu \nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} $. Je pak totiž na stejné straně jako tenzor energie a hybnosti $ T_{\mu \nu} $. $ G{\mu \nu} $ je Einsteinův tenzor a $ R{\mu \nu} $ je Ricciho tenzor (který je zúžením Riemannova tenzoru).

Státní závěrečná zkouška