Protiseminár - Lieove algebry a exponenciála

Z ωικι.matfyz.cz
Verze z 8. 1. 2009, 14:03, kterou vytvořil 195.113.33.32 (diskuse)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
♦♦♦


Rotacia maly.png


Lieove algebry a exponenciála

Ako sa pracuje s maticami rotácií a čo to je generátor rotácie?

Ako to súvisí s momentom hybnosti? Chcete vedieť, ako exponenciálou posunúť alebo otočiť vektor?

Čo je to exponenciála komplexného čísla?

A ako komplexifikácia $ \mathbf R^3 $ zafixuje bázové vektory a rozdelí priestor na tri časti?

Alebo by ste chceli vedieť poriadne vyriešiť diferenciálnu rovnicu bez hádania riešenia?

A čo je to Campbell-Baker-Hausdorfova veta?


Príďte sa pozrieť!

aká silná je matematika v rukách fyzika:)


Kedy a kde?

V pondelok 5.1.2009 o 18:00 v T2


Čo so sebou?

Hrnček na čaj, tentoraz ten čaj určite bude, beriem konvicu:)

♦♦♦

Plán seminára:

Grupa -> algebra[editovat | editovat zdroj]

  • 2D rotácie, vlastnosti grupy, ortogonálne matice ako grupa, infinitezimálna rotácia.
  • 3D rotácie, infinitezimálne rotácie, generátory, skladanie.
  • Komutátor rotácií: $ \mathbf {R}_x \mathbf{R}_y \mathbf {R}_x^{-1}\mathbf{R}_y^{-1} $ vs. $ [\mathbf A_x, \mathbf A_y] \approx \mathbf A_z $

Algebra -> grupa[editovat | editovat zdroj]

  • Diferenciálna rovnica

$ \frac{df}{dx} = kf $,

fyzikálne príklady a jej špeciálny prípad $ \frac{df}{dx} = f $. Vytvorenie exponenciály z Eulerovej metódy.

  • Čo je to exponenciála komplexného čísla? Eulerov vzorec.
  • Konečné rotácie ako exponenciála generátora, exponenciála operátora. Význam v kvantovej mechanike (generátor posunutia - hybnosť, otočenia - moment hybnosti).
  • Campbell-Baker-Hausdorfova veta s jedným komutátorom: ak $ \hat A $ aj $ \hat B $ komutujú s $ [\hat A, \hat B] $, tak $ e^{\hat A+ \hat B} = e^{\hat A} e^{\hat B} e^{-\frac{1}{2}[\hat A,\hat B]} $.

Lineárne reprezentácie[editovat | editovat zdroj]

  • grupa a jej reprezentácia (reprezentácia grupy lineárnymi operátormi)
  • invariantné podpriestory a blokové matice
  • rozklad reprezentácie na ireducibilné
  • skladanie reprezentácií