Tíhový potenciál

Tíhové pole je konzervativní silové pole, jeho potenciál tvoří

$ W(P) = V(P) + Q(P)+ \delta W(P) $

V(P) je gravitační potenciál, Q(P) potenciál odstředivých sil a delta W(P) je proměnná část potenciálu tvořená volnou nutací pólů + slapové působení Měsíce a Slunce

Gravitační potenciál je harmonickou funkcí souřadnic, splňuje tedy Laplaceovu rovnici

$ \Delta V(P) = 0 $

to ve sférických součadnicích řeší dvě nezávislá partikulární řešení

$ \rho^j Y_{lm}(\theta,\Lambda) $ a $ \rho^{-j-1} Y_{lm}(\theta,\Lambda) $

pro sférickou harmonickou fci Y(lm), avšak první řešení má sungularitu v nekonečnu, tudíž nezajímavé. Obecné řešení Laplace je

$ V = \frac{GM}{\rho}\sum_{j=0}^\infty \left( \frac{a_0}{\rho}\right)^j\sum_{m=-j}^j A_{lm} Y_{lm} $

A(jm) jsou Stokesovy parametry. Sférické harmoniky souvisejí s přidruženými Legendrovými polynomy a jsou plně normovány, řešení gravitačního potenciálu se dá zjednodušit na $ V = \frac{GM}{\rho}\left[1+\sum_{j=0}^\infty \sum_{m=0}^j \left( \frac{a_0}{\rho}\right)^j (J_j^{(m)} cos (m\Lambda) + S_j^{(m)} sin (m\Lambda))\right]P_j^{(m)}cos \theta $

Odstředivý potenciál jde napsat jako

$ Q(P) = \frac{1}{2} \omega^2 \rho^2 sin^2 \theta = \frac{1}{3}\frac{GM}{\rho}q\left(\frac{\rho}{a_0} \right)^3[1-P_2^{(0)}cos(\theta)] $

Potenciál odstředivých sil není harmonickou funkcí a splňuje rovnici

$ \Delta V(P) = \omega^2 $

Helmertův parametr q je definován jako

$ q = \frac{\omega^2 a_0^3}{GM} $

Poměr

$ R_0 = \frac{GM}{W_0} $

pro W_0 = konst. je nazýván délkový poměr geopotenciálu. Jedna z ekvipotenciálních ploch takto definovaných je geoid.