Komplexní reprezentace polychromatických polí

Státnice - Fyzika NMgr: Seznam okruhů#4. Vlnová optika

• Monochromatická vlna: E(t)~exp(i(k∙r-ωt)) + c.c.. FT dá součet dvou δ-distribucí, jednu pro ω/2 a druhou pro -ω/2
• Polychromatická: E(t)=∑E_0iexp(i(k_i∙r-ω_it)) + c.c. => FT dá součet více δ-distribucí
• Spojité spektrum: E(ω) = ∫_RE(t) exp(-iωt) dt

Věnujme se nyní spojitému spektru: E(t) ∈ R => E(ω) = E*(-ω). Tímto se lze zbavit nefyzikálních záporných frekvencí (viz Němcova vlnová optika. Já u sebe ten sešit nyní nemám, takže si nejsem tak úplně jist, jak to je). Udělám poupravenou IFT a zavedu komplexní analytický signál: U(t) := ∫_R⁺2E(ω) exp(iωt) dω.

K čemu tento komplexní analytický signál je dobrý?

• Zavedu koherenční funkci G(τ) := <U*(t) U(t+τ)>. Pozor: toto je souborová střední hodnota. Časová je lim_T→∞ 1/T ∫_-T/2^T/2 U*(t) U(t+τ) dt. Platí ergodický teorém: souborová střední hodnota je shodná s časovou, pokud máme stacionární vlnění.

Protože je G(0) = intentita světla, je vhodné ji normovat: g(τ) := G(τ) / G(0) = G(τ) / <U*(t) U(t)>. Pozn: G i g jsou komplexní. |g| ∈ <0;1>.

Lze zavést i prostorovou koherenci G(r₁, r₂, τ) := <U*(r₁, t) U(r₂, t+τ)> a g(r₁, r₂, τ) := G(r₁, r₂, τ) / .... Namísto tří teček se bere "střední intenzita v místech r₁a r₂", přesněji jejich geometrický průměr: g(r₁, r₂, τ) := G(r₁, r₂, τ) / √I(r₁)I(r₂). Připomenutí: I(r₁) = G(r₁, τ = 0). Pozn: G i g splňují vlnovou rovnici

Užití

V Michelsonově inteferometru: chci viditelnost proužků V > 1/2. Intenzita světla dopadajícího do detektoru je (po chvilce počítání) dána jako I(x) = I₀ + 2|g| cos(4π/λ |L₁-L₂|), kde I₀ je intenzita vstupujícího světla, λ je vlnová délka použitého světla; L₁ a L₂ jsou délky jednotlivých ramen.

Od naměřené intenzity již byla odečtena intenzita vstupujícího světla (I₀). Amplituda kmitů ~|g|, frekvence pak cos(4π/λ |L₁-L₂|). Ještě připomenu, že pro Lorentzovku i Gaussovku je τ~1/Δν, cτ = |L₁-L₂|