Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika

Kód předmětu: NMAI059 Přednáší: Jaromír Antoch

Základní informace

• poznámky: Studnice vědomostí

ZS 2006/7

Zkoušky:

• Celkem 45 bodů, do 38 1, do 32 2, do 25 3. Za prvních pět dokopy je 20 bodů a za poslední příklad je 25.
• Čistýho času jsou 2 hodiny.

Zkouška 19. 1. 2007

• Mame n mereni X a prumer($ \overline{X_n} $) - 4 otazky na rozhodnuti plati/neplati se zdůvodněním nebo důkazem:
  • $ \overline{X_n} $ nezávisí na odlehlých hodnotách $ X_i $
  • $ \overline{X_n} $ je nestrannym odhadem EX
  • $ var(\overline{X_n})=n*var(X_i) $
  • $ \sum(X_i - \overline{X_n})^2 = 1 $

• Pokud se nahodny hodnoty trefuji blizko do okoli stredni hodnoty, bude pak smerodatna odchylka:
  • mala
  • velka
  • velmi velka
  • nespocitatelna

• Hodnota, kterou n.v. s pravdepodobnosti p nepreleze se nazyva:
  • median
  • p-kvantil
  • p-kvartil
  • distribucni funkce v bode p

• Stredni hmotnost narozeneho ditete je 3,4kg, smerodatna odchylka je 450g, normální rozdělení, urcete pravdepodobnost narozeni ditete s vahou mensi nez 2.5kg a zdůvodněte:
  • 1%
  • 2,5%
  • 10%
  • 25%

• Popište:
  • co je to chyba prvniho druhu
  • co je to kriticky obor
  • co je to sila testu

• Stroj na generovani nahodnych cifer generuje cislice 0-9, kazde cislo se stejnou pravdepodobnosti
  • jakým rozdělením se řídí počet sudých číslic vygenerovaných strojem
  • kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 1 sude
  • kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 2 sude
  • kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 10 sudych
  • Mejme jev A, vygenerovana cislice je mensi nez 4
    • Navrhnete test na alfa hladine 0.95, ktery overi hypotezu, ze cetnost pA vygenerovanych cislic mensich nez 4 neodpovida tvrzeni o idealnosti stroje (stroj je spatny)
    • Ze 100 pokusu je 35 cislic mensich nez 4, zamitneme hypotezu?
    • Co kdyz 10x zvetsime vyber a dostaneme 350 cislic mensich nez 4, zmeni se neco na nasem postoji vuci hypoteze?

Zkouška 22. 1. 2007

• Doba telefonního hovoru se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 2 minuty. Jaká je pravděpodobnost že náhodný hovor bude trvat déle než dvě minuty?

[3 body]

• $ X_1,....X_n $ jsou z alternativního rozdělení s parametrem 0,3 a $ Y=\sum\limits_{i=1}^n X_i $.
  • Jaké je rozdělení Y?
  • K čemu konverguje $ \frac{Y}{n} $?
  • Jaké má rozdělení Y vztah k Poissonovu rozdělení?

[po 2 bodech, celkem 6]

• Teorie:
  • Čebyševova nerovnost
  • nestranný odhad
  • chyba 2.druhu
  • intreval spolehlivosti

[po 3 bodech, celkem 12]

• Opilec má osm klíčů, které jsou nerozeznatelné a snaží se odemknout svůj dům. Po každém odemčení mu klíče upadnou a znova je sebere a zkouší to znova.
  • Určete rozdělení toho, po kolika pokusech uspěje
  • Určete pravděpodobnost, že uspěje nejhůře po šesti neúspěšných pokusech.
  • Určete pravděpodobnost, že uspěje nejdříve po deseti neúspěších za předpokladu, že už 6 neuspěl.
  • Určete střední hodnotu.

[1+3+3+3 body, celkem 10]

• Počet spamů za den se řídí Poissonovým rozdělením $ (\frac{\lambda^k}{k!})*(e^{-\lambda}) $
  • Ověřte, že $ var X = \lambda $.
  • $ \lambda_0 = 25 $, 100 dní - jaká je zhruba pravděpodobnost, že strávím za 100 dní méně než dvě hodiny mazáním spamu, když smazání jednoho trvá 3 sekundy?
  • Ověřte na alfa=0,05 teorii, že při 100 dnech a celkovém počtu spamů 2650 je λ větší než $ \lambda_0 $ ($ \lambda_0=25 $).

[3+5+6, celkem 14]

Zkouška 13. 2. 2007

• Má-li doba obsluhy zákazníka ve spořitelně (v minutách) exponenciální rozdělení se střední hodnotou 5 minut, určete, jaká je pravděpodobnost, že
  • náhodně vybraný zákazník bude obsluhován déle než 5 minut
  • nejdelší z šestice nezávislých dob obsluhy nepřekročí 10 minut
  • určete rozptyl aritmetického průměru dob obsluhy 100 zákazníků

[2+3+2]

• Vysvětlete následující pojmy: vychýlený odhad, obor přijetí, chyba 1. druhu, intervalový odhad, zákon velkých čísel, Bayesova věta

[6x3 punkten]

• V lisovně plastů vyrábějí obaly na CD. Tloušťka jednoho obalu je určena náhodnou veličinou s rozdělením N(10mm, 0,25mm^2). Obaly se vkládají do krabic (v jedné řadě jako knížka do knihovny), které dodává jiný výrobce. Vnitřní šířka krabice je popsána náhodnou veličinou s rozdělením N(1014mm, 24 mm^2). Předpokládejme, že šířky jednotlivých obalů jsou nezávislé jak navzájem, tak i šířkou krabice. Jaká je pravděpodobnost, že se do krabice nevejde 100 CD.

[fünf punkten]

• Typický pražský Cajzl jezdí každý den krtkem do a z práce, kdy interval mezi jednotlivými vlaky je 4min - stejně i v době návratu domů. Jsou-li v uvažovaných denních dobách všechny okamžiky zaměstnancova vstupu na nástupiště stejně možné, je i jeho doba čekání na vlak (X) náhodnou veličinou.
  • určete rozdělení veličiny X, její střední hodnotu a rozptyl
  • určete přibližnou pravděpodobnost, že během 1. čtvrtletí (63 pracovních dnů) stráví při cestách do práce a zpět čekáním na vlak více než 3 a tři čtvrtě hodiny.
  • Strávil-li onen cestující během posledního čtvrtletí čekáním na peróně 275 min, otestujte na hladině alpha=0,05, zda lze zpochybnit 4-minutový interval mezi jednotlivými vlaky udaný v jízdním řádu.
    • řádně zformulujte hypotézy
    • řádně zformulujte rozhodovací pravidlo
    • proveďte test

[4+5+6]

ZS 2005/6 a starší

• už neplatí, systém zkoušení byl změněn
• rozebíráno v diskusi mff.fear.cz
• od zkoušky asi opravdu nejde "vyletět", človek z něhož toho Antoch dostane opravdu málo má při nejhorším za 3 (nebo si může zvolit možnost přijít příště, bez jakékoliv penalizace ;)

teoretické úlohy, které rozdával na zkoušce (z mff fear, ale (skoro) všechno hezky pohromadě)

• Podmíněná pravděpodobnost, vsecko OK, az do chvile, nez se me zeptal na neco jako, kdyz mame dva nezavisle jevy A, B,... tak jesli nam muze byt k necemu vysledek prvniho pokusu, pri zkoumani toho dalsiho. No rekl jsem, ze ne, ze od toho jsou nezavisle. Nasledovala etida na tema at si to jeste rozmyslim, ktera skoncila nekde u nahodnych prochazek.
• Věta o úplné pravděpodobnosti.
• Náhodná procházka.
• Bayesova veta. Ptal se i na pouziti, tak jsem mu vypravel o testech aids.
• Pravděpodobnostní prostor.
• Náhodná veličina - definice, význam, příklady spojité a diskrétní n.v.
• Povězte mi co víte o spojité náhodné veličině.
  • stačí nakreslit pár obrázku, uvést pár příkladů a popsat co to je střední hodnota apod.
• neslucitelnost X nezavislost u nahodnych jevu a velicin. U nezavislosti nahodnych velicin jsem napsal pouze kovarianci a korelaci, coz mu stacilo. Jeste jsme resili jak vypada sjednoceni k nahodnych jevu (jevy nemusi byt disjunktni) - tam se pouzije princip inkluze a exkluze a jak vypada prunik tri nahodnych jevu (ne nutne nezavislych) - pomoci podminene psti.
• Věta o konvoluci.
• Vsechno co vim o Normalnim rozdeleni.
• Čebyšeova nerovnost a věta - obojí s důkazem
• Vytvořující funkce (definice, jak se používá, proč se zaváděla).
• Centrální limitní věta, pouziti pro n.v. ~ bi(n,p).
• Testování hypotéz (spis uvod, nulova hypoteza, alfa, sila testu).
• statistická otázka - testování středních hodnot dvou nezávislých výběrů ( úloha z domácího úkolu - jak na základě naměřeného vzorku výšek mužů a žen určit, zda jsou muži stejně vysocí jako ženy ).
• regrese
• teoria odhadu

praktické příklady, které rozdával na zkoušce

• Jaká je pravděpodobnost, že pěticiferné číslo z rozsahu 00001-99999 neobsahujé žádné dvě stejné cifry.
• V telefonní síti je průmerný počet výpadků za měsíc na jednoho účastníka 8. Jaká je pravděpodobnost, že jeden účastník zaznamená více než 4 výpadky.
• Strelec strili do terce, zasah 0-10b, pst ze trefi v souctu 30b je 0.008, pst, ze trefi v jednom vystrelu P( x < 8 ) = 0.4, P( x = 8 ) = 0.15. Jaka je pst, ze trefi alespon 28b ve trech vystrelech.
• máme 18 střelců, 5 z nich trefí cíl s pravděpodobností 90%, 7 z nich trefí cíl s pravděpodobností 80%, 4 z nich trefí cíl s pravděpodobností 60%, 2 z nich trefí cíl s pravděpodobností 50%. Náhodně vybereme střelce a on mine. Určete, v jaké skupině střelců nejpravděpodobněji je.
• Mate navzajem disjunktni jevy A,B,C,D + prislusne psti, jaka je pravdepodobnost, ze nastane alespon jeden z jevu?
• agregat se po m poruchach musi opravit s psti G(m) = 1 - ( 1 - 1/omega )^m . Omega urcuje prumerny pocet poruch. Pravdepodobnost poruchy za jeden cyklus (smenu?) je p. Dokazte, ze po n cyklech se agregat musi opravit s psti W = 1 - ( 1 - p/omega)^m .
• spočítat pst, že náhodně vybrané celé číslo umocněné na druhou končí na jedničku. Pak ještě to samé na doplnění, ale s jedenáctkou na konci pro druhou, případně třetí mocninu
• příklad na náhodnou procházku
  • nevím doslovné zadání, ale celkem snadno se to dalo převést na příklad jež se dělal na přednášce, a jehož řešení je v úpravě vztahu na rekurzivní vyjádření za pomocí podmínění prvním pokusem
• Je 2n lidí, z toho n mužů a n žen. Všichni se náhodně usadí ke stolu (s 2n židlemi). Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe?
  • Naváděl mě na princip inkluze a exkluze, ale nakonec jsme to nějak společnými silami (víc jeho než mými :-) vyřešili bez toho.
  • Jako podpříklad jsme vyřešili i toto: Je 10 manželských párů, jaká je pravděpodobnost, že když si sednou ke stolu s dvaceti místy, tak žádní dva manželé nebudou sedět vedle sebe? (toto už je na princip inkluze a exkluze)
• Mam pytlik a v nem je bila a cerna kulicka. V kazdem tahu vytahnu jednu kulicku. Kdyz vytahnu cernou, hra konci. Kdyz vytahnu bilou, vratim ji a jeste jednu bilou pridam. Jaka je pst, ze v prvnich 50 tazich nevytahnu cernou kulicku. Pro overeni vysledek je 1/51.
• 2 manici hazi na stridacku minci (spravedlivou). Vyhrava ten, kdo prvni hodi lic. Jaka je pst, ze vyhraje prvni a jaka, ze vyhraje druhy.
• Betinec: Procesor ma sirku X, patice ma sirku Y, kde X je n.v. s rozdelenim N(10, 4) a Y je n.v. s rozdelenim N(11,5). Jeden procesor stoji 1 dolar, vyrobite 1000 procesoru. Jaka je stredni hodnota ztraty (tzn. kolik vyrobite procesoru sirsich nez patice)? Pozn.: Temi parametry u X a Y si nejsem jisty...ale na tom ostatne az tak nezalezi.
• Betinec: V rybnice plave celkem k kapru. Z techto k je m oznacenych. Nahodne vylovim n kapru a vidim, ze z nich je x oznacenych. Jaka je stredni hodnota poctu kapru v rybnice. Jak se zmeni, kdyz taham kapry po jednom (tedy Polyovo urnove schema s delta = -1, neboli spocitat stredni hodnotu hypergeometrickeho rozdeleni). (Pro ujasneni: k neznam; m, n a x znam)
• Betinec: Mame n mereni IQ: X_1,X_2,...,X_n. Jsou to nezavisle nahodne veliciny z rozdeleni N(x,15^2) (stredni hodnotu nevime). Navrhnete, jak byste testovali hypotezu, ze prumerne IQ (tedy ta stredni hodnota) je vetsi rovno 120 oproti alternative, ze IQ je mensi nez 120. Plus pro danych 6 hodnot (pamatuju se jen, ze soucet byl 696) se melo overit, zda hypotezu zamitame/nezamitame (nezamitala se).

Externí odkazy

• Pravděpodobnost a statistika hypertextově
• Pravděpodobnost a statistika pro FEL KMA/PSE
• Poznámky od Tuetscheka
• http://www.cihak.com/michal/
• Příklad zadání zápočtové písemky
• Diskuze současných třeťáků