13. Variační formulace fyzikálních zákonů

Sylabus

Hamiltonův variační princip, vztah mezi mechanikou a geometrickou optikou. Hamiltonův princip pro soustavy s nekonečně mnoha stupni volnosti (struna, elektromagnetické pole).

Státní závěrečná zkouška

Trocha historie variačního počtu - hledání brachistochrony (časově nejkratší spojnice dvou bodů), Fermatův princip (nejkratší čas).

Hamiltonův variační princip

Zavedeme lineární akční funkcionál popisující pohyb soustavy v čase $ t \in [t_1,t_2] $ vztahem

$ S := \int_{t_1}^{t_2} L (q^j(t), \dot{q}^j(t),t)\, {\rm d}t \, . $

Hamiltonův variační princip pak říká, že se realizuje taková trajektorie $ q(t)\, $, že variace jí příslušející akce je nulová, matematicky

$ \delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L (q^j(t), \dot{q}^j(t),t)\, {\rm d}t = 0 \, , $

(tedy změna akce se změnou dráhy je nulová). Navíc požadujeme, aby počáteční a koncový bod všech možných trajektorií byly shodné, tedy aby $ \delta q^i (t_1) = \delta q^i (t_2) = 0 $ (úloha s pevnými konci).

Lze dokázat, že nutnou podmínkou stability funkcionálu akce ($ \delta S = 0 $) je splnění tzv. Eulerových-Lagrangeových rovnic (EL). Pro obecný lineární funkcionál

$ \int_{\Omega} F\left(\varphi(x,y), \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y), \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y), x, y\right) \, {\rm d}x {\rm d}y \, , $

(integrace přes oblast $ \Omega $ s pevnými konci) mají EL rovnice tvar

$ \frac{\partial F}{\partial \varphi} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial \varphi_{,x}} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial \varphi_{,y}} = 0 \, . $

Porovnáním dostaneme tvar EL rovnic pro náš funkcionál akce

$ \frac{d}{d t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \right)- \frac{\partial L}{\partial q^i} = 0 \, , $

což jsou zjevně LR II. Lagrangeovy rovnice II. druhu jsou tedy Eulerovými-Lagrangeovými rovnicemi pro extremálu akčního funkcionálu $ S\, $ (ekvivalence Lagrangeova formalismu a Hamiltonova variačního principu).

Vztah mezi mechanikou a geometrickou optikou

Pohybové rovnice v klasické mechanice lze napsat ve tvaru podmínky pro extremální hodnotu akčního funkcionálu $ S\, $. Analogicky můžeme geometrickou optiku založit na Fermatově principu - ten požaduje, aby se světlo šířilo tak, že se z místa $ A\, $ do místa $ B\, $ dostane za nejkratší možnou dobu. V mechanice tedy nabývá extremální hodnoty funkcionál akce

$ \delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L (q^j(t), \dot{q}^j(t),t) \, {\rm d}t = 0 $

v optice je to optická dráha

$ \delta l = \delta \int_A^B n (\vec{r}) \, {\rm d}l = 0 $

Hamiltonův princip pro soustavy s nekonečně mnoha stupni volnosti (struna, elektromagnetické pole)

Uvažujme strunu o délce $ l\, $, délkové hustotě $ \varrho $, napjatou napětím $ \sigma\, $. Výchylku z rovnovážné polohy označíme $ y\,(x,t) $. Uvažujeme-li jen malé kmity, můžeme sílu, která vrací strunu zpátky do rovnovážné polohy, aproximovat výrazem

$ \sigma \left[ \frac{\partial y}{\partial x} \left( x + dx \right) - \frac{\partial y}{\partial x} (x) \right] \approx \sigma \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} {\rm d}x \, . $

Kinetická energie struny

$ T = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{\varrho}{2} \int_0^l \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 {\rm d}x $

Potenciální energie struny

$ {\rm d}V = \int_0^y F_y\ {\rm d}y = \sigma \int_0^y \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\, {\rm d}y {\rm d}x $

Zavedeme-li substituci $ z = \frac{\partial y}{\partial x} $ (pro niž platí $ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial y} z $) můžeme psát

$ V = \sigma \int_0^l \left( \int_0^y \frac{\partial z}{\partial y} z\, {\rm d}y \right) {\rm d}x = \frac{\sigma}{2} \int_0^l z^2 {\rm d}x = \frac{\sigma}{2} \int_0^l \left(\frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 {\rm d}x \, . $

Lagrangián má potom tvar

$ L = T - V = \int_0^l \left[ \frac{\varrho}{2} \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 - \frac{\sigma}{2} \left(\frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 \right]\, {\rm d}x = \int_0^l \tilde{L} \, {\rm d}x \, , $

kde $ \tilde{L} $ je hustota langrangiánu. Podle Hamiltonova variačního principu hledáme extremálu tohoto lagrangiánu

$ \delta \int_{t_1}^{t_2} L \, {\rm d}t = \delta \int_{t_1}^{t_2} \int_0^l \tilde{L} \, {\rm d}x {\rm d}t = 0 \, . $

Řešíme tedy EL rovnici

$ \frac{\partial \tilde{L}}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial y_{,t}} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial y_{,x}} = 0 \, . $

Dosazením lagrangiánu dostaneme

$ \varrho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \sigma \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \Leftrightarrow \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0 \, . $

Pohyb struny se řídí vlnovou rovnicí, rychlost šíření vlny je $ v = \sqrt{\frac{\sigma}{\varrho}} $. Řešení vlnové rovnice má tvar

$ y = f \left(x + k\,t\right) + g \left(x - k\,t \right) \, , $

kde $ k = \frac{1}{v} \, $, $ f $ a $ g $ jsou libovolné hladké funkce. Pro elektromagnetické pole analogicky.

Elektromagnetické pole

Rád bych sem doplnil pár informací k elektromagnetickému poli. Za prvé vůbec nechápu, co tady dělá, protože jediné místo, kde se s variační formulací elektromagnetismu dalo setkat, byl loňský Krtoušův seminář na soustředění v Ondřejově, kde shodou okolností byli z našeho ročníku snad jen členové VLKa. Za druhé je pro nás pochopitelná jen Lagrangeovská formulace, kterou zde uvedu, neboť přeformulování do Hamiltonovské je značně ošklivé, protože Lagrangián nezávisí na $ \dot\varphi $ a tak je degenerovaná jedna zobecněná hybnost.

Akce (integrál z hustoty Lagrangiánu přes čas a prostor) je pro elektromagnetické pole je dána výrazem:

$ S=\int\int \left( \frac{1}{2} \left( {\bf E}^2-{\bf B}^2 \right) -\rho\varphi+{\bf j.A} \right)\, {\rm d}x^3{\rm d}t = \int\int \left( \frac{1}{2} \left( \nabla \varphi+{\bf \dot A}\right). \left(\nabla\varphi+{\bf \dot A}\right) - \frac{1}{2}\left(\nabla\times{\bf A}\right) . \left(\nabla\times {\bf A}\right) - \rho \varphi+{\bf j.A}\right)\, {\rm d}x^3 {\rm d}t \, . $

Konstanty $ \varepsilon_0,\ \mu_0 $ a $ c\ $pokládám pro jednoduchost rovny jedné. Výraz pro akci je nutné si za použití identity $ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl} $ přepsat do složek a pak provést variaci (parciální derivaci značím čárkou, používám Einsteinovu sčítací konvenci a ignoruji kovariantní a kontravariantní indexy, v OTR je stejně všechno úplně jinak).

$ S=\int\int \left( \frac{1}{2} \left( \varphi_{,k}+\dot A_{k} \right) \left( \varphi_{,k}+\dot A_{k}\right) - \frac{1}{2} \left( A_{i,j}A_{i,j}-A_{i,j}A_{j,i} \right)-\rho\varphi+j_lA_l \right) \,{\rm d}x^3{\rm d}t \, , $

$ \delta S=\int\int \left( \left( \varphi_{,k}+\dot A_{k} \right)\delta\varphi_{,k}-\rho\delta\varphi+ \left( \varphi_{,k}+\dot A_{k} \right) \delta\dot A_k-A_{i,j} \delta A_{i,j} + A_{i,j}\delta A_{j,i} + j_l \delta A_l \right) \, {\rm d}x^3 {\rm d}t \, . $

Nyní je potřeby zbavit se všech derivací u variací, což se standardně dělá per partes s položením variací nula na okraji integrační oblasti. S drobným přeindexováním dostaneme:

$ \delta S=\int\int \left( \left( - \varphi_{,kk} - \dot A_{k,k} - \rho \right) \delta \varphi + \left( - \dot \varphi_{,k} - \ddot A_{k} + A_{k,jj} - A_{j,kj} + j_l \right) \delta A_l \right) \, {\rm d}x^3 {\rm d}t \, . $

Když nyní použijeme Lorenzovu kalibraci $ A_{k,k}+\dot\varphi=0 $, tak dostaneme rovnice:

$ \Delta\varphi-\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=-\rho \, , $

$ \Delta\mathbf{A}-\frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2}=-j \, , $

které jsou spolu s definicemi elektromagnetických potenciálů $ {\bf E} = - \nabla \varphi - {\bf \dot A} \, , \,\, {\bf B} = \nabla \times {\bf A} $ ekvivalentní standardní sérii Maxwellových rovnic.

Státní závěrečná zkouška