16. Formalizmus kvantové teorie

Sylabus

Formalizmus kvantové teorie Postuláty kvantové mechaniky. Vlnová funkce. Lineární a hermitovské operátory. Reprezentace měřitelných veličin. Kvantování fyzikálních veličin. Časová a nečasová Schrödingerova rovnice. Relace neurčitosti. Integrály pohybu.

Státní závěrečná zkouška

Diracova notace

Stav systému popisujeme vlnovou funkcí, kterou reprezentuje vektor v Hilbertově prostoru kvadraticky integrabilních funkcí, které označujeme jako ket-vektory $ \left|\phi\right> $. Hilbertův prostor je přitom komplexní lineární vektorový prostor, který je separabilní a úplný a je na něm definován skalární součin. (Prostor je úplný, pokud existující limita jakékoli posloupnosti prvků z daného prostoru leží uvnitř tohoto prostoru. Dále, prostor je separabilní, pokud obsahuje spočetnou hustou podmnožinu.) Jelikož ket-vektory tvoří lineární prostor, jejich lineární kombinace je opět ket-vektorem (což je vlastně princip superpozice, jak je vidět z následujících kapitol). V prostoru ketů je definován skalární součin, které každé dvojici ket-vektorů $ \left|\phi\right> $ a $ \left|\psi\right> $ přiřadí komplexní číslo $ \left<\psi| \phi\right> $, přičemž platí axiomy skalárního součinu. V našem případě

$ \left<\psi| \phi\right> = \int \psi^* (\mathbf{r},t) \phi (\mathbf{r}, t)\, {\rm d}V $.

Jestliže ve skalárním součinu $ \left<\psi| \phi\right> $ necháme $ \left|\psi\right> $ konstantní a $ \left|\phi\right> $ necháme probíhat celým prostorem, ket-vektor $ \left|\psi\right> $ zadává lineární funkcionál $ f $, jehož argumentem jsou ket-vektory $ \left|\phi\right> $. Všechny tyto funkcionály tvoří duální prostor, který má stejnou dimenzi jako prostor ket-vektorů. Vektory z tohoto duálního prostoru označujeme bra-vektory, $ f = \left<\psi\right| $. Skalární součin dvou ket-vektorů $ \left|\phi\right> $ a $ \left|\psi\right> $ lze tedy považovat za hodnotu bra $ \left<\psi\right| $ pro ket $ \left|\phi\right> $. Tedy $ \left<\psi \right| \left(\left|\phi\right>\right) = \left<\psi| \phi\right> $. Bra-vektor $ \left<\psi\right| $ nazýváme konjugovaným s ket-vektorem $ \left|\psi\right> $.

Operátor v prostoru ketů je pravidlo, které libovolnému ket-vektoru $ \left|\phi\right> $ přiřadí jiný ket-vektor $ \left|\psi\right> $, což lze napsat jako

$ \left|\psi\right> = \hat F \left|\phi\right> = \left|\hat F \phi\right> . $

Pro lineární operátor platí

$ \hat F \left(\alpha \left|a\right> + \beta \left|b\right>\right) = \alpha \hat F \left|a\right> + \beta \hat F \left|b\right> . $

Příkladem je projekční operátor $ \hat P = \left|a\right>\left<b\right| $, který promítá libovolný ket-vektor $ \left|\psi\right> $ do směru $ \left|a\right> $

$ \hat P \psi = \left|a\right>\left<b|\psi\right> $

a platí pro něj, že $ a = b $ a $ \left<a|a\right> = 1 $, tedy $ \hat P \hat P = \hat P^2 = \hat P $.

(protože $ \hat P \left|\psi\right> = \left|a\right>\left<a|\psi\right> = \left(\left<a|\psi\right>\right)\left|a\right> $. Hned je vidět, že $ \hat P^2 = \left|a\right>\left<a\right| \left|a\right>\left<a\right| \left|\psi\right> =\left|a\right> \left<a|a\right> \left<a|\psi\right> = \left|a\right> 1 \left<a|\psi\right> = \hat P \left|\psi\right> $)

Působení libovolného lineárního operátoru $ \hat F $ na stavový vektor je cele popsáno působením tohoto operátoru $ \hat F $ na vektory báze:

$ \hat F \left|a_{ij}\right> = \sum_{i} F_{ij} \left|a_i\right> , $

přičemž $ F_{ij} = \left<a_i\left|\hat F \right|a_j\right> $ jsou maticové elementy operátoru $ \hat F $ vzhledem ke stavům $ \left|a_i\right> $ $ \left|a_j\right> $,

Souhrn čísel $ F_{ij} $ definuje matici operátoru $ \hat F $ v bázi $ \left\lbrace\left|a_i\right>\right\rbrace $.

Matici $ F^+ $, pro níž platí $ F_{ij}^+ = F_{ji}^* $, nazveme hermitovsky sdruženou k matici $ F $. Hermitovsky sdružený operátor $ \hat F^+ $ k $ \hat F $ tedy definujeme vztahem $ \left<a_i\right|\hat F^+ \left|a_j\right> = \left<a_j\right| \hat F \left|a_i\right> $ pro všechna $ i $ a $ j $, což je ekvivalentní vztahu $ \left<a\right|\hat F^+ \left|b\right> = \left<\hat F a| b\right> $ pro libovolné dva vektory z uvažovaného prostoru.

Platí-li $ \hat F^+ = \hat F $, pak $ \hat F $ je hermitovský operátor. Pro lineární hermitovské operátory můžeme v kvantové mechanice vždy najít úplnou a ortonormální bázi.

Postuláty kvantové mechaniky

Nejlepší popis kvantové mechaniky (KM) je takový, že se zavedou postuláty, z nichž se potom vše ostatní vyvozuje. Jelikož se KM musí obejít bez pojmu trajektorie, který v mikrosvětě nebyl experimentálně ověřen, pro popis stavu částice nepoužijeme její polohu a hybnost, ale tzv. vlnovou funkci.

Postulát o vlnové funkci

Veškeré informace o stavu kvantově mechanického systému jsou popsány vlnovou funkcí, což je komplexní funkce reálných proměnných: $ \psi \left(x,y,z,t\right) = \psi \left(\mathbf{r},t\right). $

Vlnová funkce přitom musí být

• spojitá,
• konečná,
• jednoznačná,
• kvadraticky integrabilní
• a při konečných změnách potenciálu musí mít spojité parciální derivace $ \frac{\partial \psi }{\partial x} $, $ \frac {\partial \psi }{\partial y} $ a $ \frac{\partial \psi}{\partial z} $.

Vlnová funkce uvedená v tomto postulátu se ale týká pouze jediné částice. Zobecnění na celý systém částic se provede tak, že vlnová fce bude záviset na souřadnicích všech částic a na čase, popřípadě na dalších vnitřních stupních volnosti, jako je např. spin.

Fyzikální interpretace vlnové fce je taková, že její kvadrát udává hustotu pravděpodobnosti výskytu částice v místě $ \mathbf{r} $ a v čase $ t $:

$ \rho (\mathbf{r},t) = | {\psi (\mathbf{r},t)} |^2 . $

Pravděpodobnost nalezení částice v objemovém elementu $ {\rm d}V = {\rm d}x \, {\rm d}y \, {\rm d}z $ v bodě $ \mathbf{r} $ a čase $ t $ je tedy rovna

$ {\rm d}p (\mathbf {r},t) = | {\psi (\mathbf{r},t)} |^2 \cdot {\rm d}V \, . $

A jelikož pravděpodobnost výskytu částice v libovolném místě prostoru je rovna jedné, plyne odtud normovací podmínka na vlnovou funkci $ \int \left| \psi \right|^2 {\rm d}V = 1 $. Integrace probíhá přes celý prostor, a pokud vlnová funkce tuto podmínku nesplňuje, doplňuje se vhodnou multiplikativní normovací konstantou. Odtud tedy vyplývá požadavek na kvadratickou integrabilitu vlnové funkce. Ještě připomenu, že ne ve všech případech normujeme vlnovou funkci na jedničku. Např. u volné částice ji normujeme na $ \delta $-funkci.

Vlnovou funkci mohu tedy chápat jako amplitudu hustoty pravděpodobnosti (výskytu částice). Tato pravděpodobnostní interpretace, která je součástí tzv. Kodaňské interpretace KM, si žádá zavedení obdoby statistického souboru, tedy kvantového souboru. Tím rozumíme soubor nekonečně mnoha jednotlivých částic, které jsou navzájem totožné a popsané stejnou vlnovou funkcí a na kterých provádíme měření. Veličina $ {\rm d}p $ potom udává relativní počet případů, kdy při měření polohy částice nalezneme některou z nich v objemu $ {\rm d}V $. Měření na kvantovém souboru si lze také představit tak, že máme jedinou částici, na které měření provádíme, ale vždy tak, že po měření částici uvedeme do úplně stejného stavu (tedy bude mít stejnou vlnovou fci) jako před měřením.

Postulát o operátorech

Každé fyzikální veličině $ F $, kterou můžeme pro danou částici naměřit, je přiřazen lineární hermitovský operátor $ \hat F $, který působí na vlnovou funkci.

• Operátor $ \hat A $ je lineární, splňuje-li podmínku

$ \hat A (c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2) = c_1 \hat A \psi_1 + c_2 \hat A \psi_2 $, kde $ c_1 $ a $ c_2 $ jsou komplexní konstanty a $ \psi_1 $ a $ \psi _2 $ jsou libovolné funkce z prostoru, v němž operátor $ \hat A $ působí.

• Operátor $ \hat A $ je hermitovský, platí-li

$ \left< \psi | \hat A \phi \right> = \left< \hat A \psi | \phi\right> $ pro všechny $ \psi $, $ \phi $ z definičního oboru.

Linearitu operátorů přitom vyžadujeme kvůli principu superpozice vlnových funkcí a to, aby operátory byly hermitovské, proto, že takovýto operátor má reálná vlastní čísla (což je podstatné vzhledem k měření fyzikálních veličin, k čemuž se dostaneme v dalších postulátech).

V kvantové mechanice se dva nejdůležitější operátory, tedy operátory kartézských souřadnic a hybnosti, definují takto

$ \mathbf{\hat r} \left| \psi \right> = \mathbf{r} \left| \psi \right> , $

kde $ \mathbf{r} = \left(x, y, z\right) $.

$ \mathbf{\hat p} \left| \psi \right> = - i\hbar \nabla \left|\psi\right> , $

kde $ \mathbf{p} = \left(p_x, p_y, p_z\right) $.

Operátory jiných měřitelných veličin, které mají klasickou analogii, se zpravidla získají tak, že do klasického vzorce dosadíme operátory hybnosti a polohy a výraz prostě spočítáme. Tento postup ale někdy selhává. To v takovém případě, je-li klasická veličina $ A $ dána součinem dvou veličin $ B $ a $ C $, jejichž operátory nekomutují (tedy jejich komutátor daný vztahem $ \left[B, C\right] = BC - CB $ není roven nule). Typický příklad je operátor kartézských souřadnic a impulzu, protože platí $ \left[x,p_x\right] = i \hbar $. V takovém případě prvně vztah udávající klasickou veličinu symetrizujeme, a pak až do něj dosadíme operátory. Tedy když nevíme, zda použít $ AB $ nebo $ BA $, použijeme zlatou střední cestu: $ \frac{1}{2}\left(AB+BA\right) $.

Existují ale i veličiny, které nemají klasickou analogii. Zářným příkladem je spin. Takovéto operátory se zadávají samostatně. Třeba pro spin se zavádí samostatný postulát.

Postulát o spinu

Elektron má vlastní moment hybnosti neorbitálního původu $ \mathbf{s} $, který nazýváme spin a jehož složky jsou popsány hermitovskými operátory $ \hat s_i (i = x, y, z) $ splňujícími komutační relace $ [\hat s_x, \hat s_y ] = i \hbar \hat s_z $ a dále cyklicky. Velikost spinového momentu je neproměnná ($ s^2 = l_s (l_s +1) \hbar ^2 $) a odpovídá $ l_s = \frac{1}{2} $. Se spinovým momentem je spojen magnetický moment $ \mathbf {\hat M} $ vztahem $ \mathbf{M} = \gamma_s \mathbf{s} $, kde $ \gamma_s = \frac{e}{m_e} $.

Upozorňuji, že tento postulát se vztahuje pro elektron. Pro jiné částice je stejný až na velikost spinového momentu. Fermiony mají poločíselný průmět spinu, zatímco bosony mají celočíselný.

Postulát o kvantování

Jediné hodnoty, které může měřitelná fyzikální veličina $ A $ při jednotlivých měřeních nabývat, jsou vlastní čísla $ A_n $ odpovídajícího operátoru $ \hat A $. Je-li navíc systém popsán v okamžiku měření normovanou vlnovou funkcí $ \psi $, pak výsledkem měření na odpovídajícím kvantovém souboru je střední hodnota veličiny $ A $ daná vztahem:

$ \left<\hat A\right> = \left<\psi| \hat A \psi\right> = \int \psi^* \left(\mathbf{r},t\right)\, \hat A \psi \left(\mathbf{r},t\right) \,{\rm d}V . $

Souvislost výsledků jednotlivých měření $ A_n $ veličiny $ A $ s její střední hodnotou je dána vztahem $ \left<A\right> = \sum_{n} p_n A_n , $ kde $ p_n $ značí pravděpodobnost naměření hodnoty $ A_n $, což lze podle postulátu o kvantování napsat matematicky jako $ \hat A \psi_n = A_n \psi_n . $ Předpokládejme, že vlastní funkce $ \psi_n $ tvoří bázi v Hilbertově prostoru a ta je navíc ortonormální, což lze vyjádřit jako $ \left<\psi_m | \psi_n\right> = \delta_{mn} $, $ \psi = \sum_{n} c_n \psi_n $, kde $ c_n = \left< \psi_n | \psi\right> $ je koeficient rozvoje vektoru $ \psi $ do bázových vektorů $ \psi_n $. Potom z rovnice

$ \left<\hat A\right> = \left<\psi| \hat A \psi\right> , $

dostaneme výsledek

$ \left<\hat A\right> = \sum_{n} \left|c_n\right|^2 A_n \, . $

Odtud tedy dostaneme vztah $ p_n = \left|c_n\right|^2 $. Při měření veličiny $ A $ mohu tedy získat pravděpodobnost naměření hodnoty $ A_n $ pomocí koeficientů $ c_n $, jejichž hodnoty jsou dány výše uvedeným vztahem.

Postulát o redukci vlnové funkce

Měření fyzikální veličiny $ A $ s výsledkem měření $ A_n $, kde $ A_n $ je vlastní číslo odpovídající operátoru $ \hat A $, převádí měřený systém do stavu s vlnovou funkcí $ \psi_n $, která je vlastní funkcí operátoru $ \hat A $ s vlastním číslem $ A_n $.

Toto vlastně znamená, že je-li před měřením veličiny $ A $ vlnová funkce jakákoli, bezprostředně po měření je systém v novém stavu popsaném vlnovou funkcí $ \psi_n $, pro niž platí $ \hat A \psi_n = A_n \psi_n $.

Při měření tedy nedochází ke změně vlnové funkce pouze tehdy, když v okamžiku měření je již systém v některém z vlastních stavů operátoru $ \hat A $.

Pokud chci změřit současně několik veličin, musí být vlnová funkce $ \psi_n $ vlastní funkcí všech operátorů reprezentujících měřené veličiny. Tyto operátory tedy musí komutovat, protože pouze komutující operátory mají společný systém vlastních funkcí.

Může se stát, že vlastní číslo $ A_n $ příslušející vlastní funkci $ \psi_n $, která popisuje stav bezprostředně po měření veličiny $ A $ je degenerované (tedy jednomu vlastnímu číslu $ n $ přísluší několik, třeba $ k $, vlastních funkcí). Potom vlastní funkce $ \psi_n $ není jednoznačně určena a my o ní můžeme říct jenom to, že náleží do lineárního podprostoru o dimenzi $ k $, jehož bázové vektory jsou funkce $ \psi_i $, kde $ i = 1, 2, \dots, k $. Abychom určili vlastní funkci $ \psi_n $, přidáváme měření další veličiny, $ B $, které provádíme současně s prvním, $ A $. Vlnová funkce tak bude vlastní funkcí operátorů $ \hat A $ i $ \hat B $, které tedy ovšem musí komutovat. Tímto způsobem přidáváme další měření dalších veličin, jejichž operátory komutují se všemi ostatními, až dosáhneme jednoznačného určení vlnové funkce $ \psi_n $, tedy společnému systému vlastních funkcí všech operátorů. Takovýto soubor všech kompatibilních operátorů nazveme úplným systémem.

Na rozdíl od klasické mechaniky nelze z vlastní funkce po měření určit, v jakém stavu se částice nacházela před měřením. Redukce vlnové funkce je totiž nekausální jev, čistě pravděpodobnostní. Naopak kausálním jevem je vývoj vlnové funkce v čase, což popisuje evoluční pohybová rovnice, tzv. časová Schrödingerova rovnice.

Postulát o časové Schrödingerově rovnici

Je-li v $ t = t_0 $ systém popsán vlnovou funkcí $ \psi (\mathbf{r},t = t_0) $, pak je jeho následný časový vývoj dán časovou Schrödingerovou rovnicí

$ i \hbar \frac{\partial \psi \left(\mathbf{r}, t\right)}{\partial t} = \hat H \psi \left(\mathbf{r}, t\right) , $

kde $ \hat H $ je Hamiltonián, tzv. evoluční operátor.

Abychom mohli takovouto parciální diferenciální rovnici řešit, je třeba znát počáteční podmínky $ \psi \left(\mathbf{r},t = t_0\right) $, a to v celém prostoru. Povšimněme si také, že operátory $ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} $ a $ \hat H $ jsou lineární, tedy operátor Schrödingerovy rovnice $ \left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - \hat H\right) $ je také lineární, z čehož vyplývá princip superpozice. Pro připomenutí tedy:

jsou-li $ \psi_1 $ a $ \psi_2 $ vlnové funkce daného fyzikálního systému, potom i funkce $ \psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2 $, kde $ c_1 $ a $ c_1 $ jsou libovolná komplexní čísla, je vlnovou funkcí tohoto systému.

Předpokládáme-li, že vývoj systému v čase je dán časovou Schrödingerovou rovnicí, kde $ \hat H $ je časově nezávislý Hamiltonián odpovídající pohybu částice v časově nezávislých vnějších polích, můžeme provést separaci proměnných a uvažovat tak řešení této rovnice ve tvaru

$ \psi \left(\mathbf{r}, t\right) = \psi \left(\mathbf{r}\right) \phi (t) $.

Dosadíme-li tuto vlnovou funkci do časové Schrödingerovy rovnice, dostaneme

$ i \hbar \frac{\frac{\partial \phi (t)} {\partial t}} {\phi (t)} = \frac{\hat H \psi (\mathbf{r})} {\psi (\mathbf{r})} = E $

Odtud získáme dvě rovnice

$ \hat H \psi (\mathbf{r}) = E \psi (\mathbf{r}) , $

$ i\hbar \frac{\partial \phi (t)}{\partial t} = E \phi (t) , $

z nichž první je tzv. nečasová Schrödingerova rovnice. Po určení vlastních energií $ E_n $ a vlastních funkcí $ \psi_n $ z rovnice $ \hat H \psi (\mathbf{r}) = E \psi (\mathbf{r}) $ pro $ n = 1, 2, ... $ můžeme integrovat druhou rovnici s výsledkem $ \phi_n (t) = N \exp {\frac {E_n t} {i \hbar}} $, kde $ N $ je normovací konstanta. Obvykle se klade rovna jedné. Stavy popsané vlnovými funkcemi $ \psi \left(\mathbf{r}, t\right) = \psi \left(\mathbf{r}\right) \phi (t) = \psi_n \left(\mathbf{r}\right) \exp{\frac{E_n t}{i \hbar}} $ se nazývají stacionárními stavy.

Obecné nestacionární řešení časové Schrödingerovy rovnice s časově nezávislým Hamiltoniánem lze vyjádřit pomocí rozvoje do ortonormálních stacionárních stavů

$ \psi \left(\mathbf{r}, t\right) = \sum_{n} c_n \psi_n \left(\mathbf{r}\right) \exp {\frac{E_n t}{i \hbar}} , $

kde $ c_n $ jsou komplexní časově nezávislé koeficienty dané počáteční podmínkou $ \psi \left(\mathbf{r},t = t_0\right) . $

Stacionární stavy mají následující vlastnosti:

• hustota pravděpodobnosti a norma vlnové funkce pro stacionární stavy nezávisí na čase,
• střední hodnota libovolného časově nezávislého operátoru ve stacionárních stavech nezávisí na čase,
• pro stacionární stavy je časově nezávislá i hustota toku pravděpodobnosti,
• při časově nezávislém Hamiltoniánu je střední hodnota energie ve stacionárních stavech časově nezávislá.

Relace neurčitosti

Úvod

Uvažujme, že kvantový systém je v obecném stavu popsaném vlnovou funkcí $ \left|\psi\right> = \sum_{n} \left|c_n\right|^2 \left|\psi_n\right> , $ která splňuje normovací podmínku, a že měříme veličinu $ A $. Při naměření hodnoty $ a_n $ se stav redukuje na jeden z vlastních stavů $ \psi_n $ operátoru $ \hat A $.

Střední hodnota, kterou z měření na kvantovém souboru dostaneme, je tedy

$ \left<\hat A\right> = \left<\psi\left| \hat A\right| \psi\right> = \sum_{n} \left|c_n\right|^2 a_n , $

kde $ \left|c_n\right|^2 $ je pravděpodobnost, že systém při měření najdeme ve stavu $ \psi_n $. Střední kvadratická odchylka je v takovém případě rovna

$ \left<\left(\hat A - \left<\hat A\right>\right)^2\right> = \left<\hat A^2\right> - \left<\hat A\right>^2 = \left<\left(\Delta \hat A\right)^2\right> = \sum_{n} \left|c_n\right|^2 \left(a_n - \left<\hat A\right>\right)^2 \ge 0 $

V obecném případě je střední kvadratická odchylka různá od nuly. Říkáme, že veličina $ A $ nemá ve stavu $ \psi_n $ ostrou hodnotu. Rovnost v posledním výrazu platí pouze tehdy, když je kvantový systém už před měřením ve vlastním stavu $ \psi_m $. Potom se střední hodnota $ \left<\hat A\right> $ bude rovnat $ a_m $. Matematicky lze vyjádřit, že poslední výraz bude nulový, když

$ |c_n|^2 = p_n = \delta_{mn} . $

Obecně tedy platí pro libovolné dva operátory $ \hat A $, $ \hat B $

$ \left<\left(\Delta \hat A\right)^2\right> \left<\left(\Delta \hat B\right)^2\right> \ge 0 . $

Odvození

Odvození relací neurčitosti není nijak složité, proto ho zde uvádím v plném rozsahu (vynechala jsem jen pár mezivýpočtů). Uvažujme hermitovské operátory $ \hat A $, $ \hat B $ a $ \hat C $, pro které platí komutační relace $ \left[\hat A , \hat B\right] = i \hat C $ (tedy nekomutují). Navíc platí, že $ \left[\Delta \hat A , \Delta \hat B\right] = i \Delta \hat C $.

Použijeme-li Schwarzovu nerovnost

$ \left<u|u\right> \left<v|v\right> \ge \left|\left<u|v\right>\right|^2 , $

pro případ, že $ u = \Delta \hat A \psi $ a $ v = \Delta \hat B \psi $, dostaneme

$ \left<\Delta \hat A \psi|\Delta \hat A \psi\right> \left<\Delta \hat B \psi|\Delta \hat B \psi\right> \ge \left|\left<\Delta \hat A \psi|\Delta \hat B \psi\right>\right|^2 . $

Protože operátory $ \hat A $ a $ \hat B $ jsou hermitovské, operátory $ \Delta \hat A $, $ \Delta \hat B $ jsou také hermitovské a skalární součin na pravé straně lze napsat ve tvaru

$ \left<\Delta \hat A \psi|\Delta \hat B \psi\right> = \left<\psi|\Delta \hat A \Delta \hat B \psi\right> . $

Operátor $ \Delta \hat A \Delta \hat B $ lze rozepsat na hermitovskou a antihermitovskou složku:

$ \Delta \hat A \Delta \hat B = \frac {1}{2} \left(\Delta \hat A \Delta \hat B + \Delta \hat B \Delta \hat A\right) + \frac {1}{2}\left(\Delta \hat A \Delta \hat B - \Delta \hat B \Delta \hat A\right) = \frac {1}{2} \left(\hat D + i\hat C\right) $

Dosadíme-li tento výsledek do pravé strany Schwartzovy nerovnosti a uvědomíme-li si, že střední hodnoty hermitovských operátorů jsou reálné, nerovnost nabude tvaru

$ \left<\psi| \left(\Delta \hat A \psi\right)^2\right> \left<\psi| \left(\Delta \hat B \psi\right)^2\right> \ge \frac{1}{4} \left(\left<\psi| \hat C \psi\right>^2 + \left<\psi| \hat D \psi\right>^2\right). $

Zatímco střední hodnota operátoru $ \hat C $ závisí na střední hodnotě komutátoru $ \left[\hat A, \hat B\right] $, střední hodnota operátoru $ \hat D $ závisí pouze na tvaru vlnové funkce, a proto se obvykle vynechává. Výsledkem je tedy tato relace

$ \left<\left(\Delta \hat A\right)^2\right> \left<\left(\Delta \hat B\right)^2\right> \ge \frac{\left<\hat C\right>^2}{4} . $

Heisenbergovy relace neurčitosti

Heisenberg odvodil relace neurčitosti pro operátory kartézských souřadnic $ \hat x = x $ a impulzu $ \hat p_x = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} $, přičemž $ \left[\hat x, \hat p_x\right] = i\hbar $. Relace tedy nabývají tvaru

$ \langle\left(\Delta \hat x\right)^2\rangle \langle\left(\Delta \hat p_x\right)^2\rangle \ge \frac{\hbar ^2}{4}. $

Prakticky to znamená, že nemůžeme naměřit zároveň ostrou hodnotu souřadnice a ostoru hodnotu impulzu. Čím je jedna veličina přesnější, tím je druhá rozmazanější (lokalizovaná částice popsaná $ \delta $-funkcí, delokalizovaná volná částice popsaná rovinnou vlnou). Dá se to také říci tak, že čím má částice menší prostor pro svoji existenci, tím má větší kinetickou energii. Porovnejme třeba nukleon v jádře a elektron v atomovém obalu. Nukleon se pohybuje v lineárním rozmezí zhruba $ 10^{-14}\rm \, m $ a hrubý odhad jeho energie v základním stavu je $ \rm 1\, MeV $. Elektron atomu vodíku v základním stavu se pohybuje v rozmezí asi $ 10^{-10} \rm \, m $ a jeho energii odhadujeme na $ \rm 10\, eV $. Oba tyto odhady odpovídají experimentům.

Teorie reprezentací

Tak jako v klasické fyzice, existuje spoustu způsobů, jak volit bázi prostoru, v němž se pohybujeme. Měřitelné veličiny musí být na volbě této báze nezávislé. V kvantové mechanice to znamená to, že invariantní jsou

• vlastní čísla matic reprezentujících hermitovské operátory,
• střední hodnoty operátorů,
• výrazy typu skalárního součinu, které mají pravděpodobnostní interpretaci
• a komutační relace.

Bázi tedy volíme tak, aby se nám konkrétní problém (tzn. Schrödingerova rovnice) řešil co nejlépe. Někdy se dokonce obejdeme úplně bez volby báze. Příkladem je řešení lineárního harmonického oscilátoru pomocí anihilačních a kreačních operátorů.

Přirozenou volbou báze v Hilbertově prostoru je úplný systém vlastních vektorů některého hermitovského operátoru. Nechť $ \hat A $ je takový operátor, který má pouze pro jednoduchost zcela diskrétní spektrum:

$ \hat A \left|a_n\right> = a_n \left|a_n\right> $,

přičemž podmínka úplnosti má tvar $ \sum_{n} \left|a_n\right>\left<a_n\right| = \hat 1 $.

Vyjádříme-li nyní všechny vektory a operátory vzhledem k této bázi, hovoříme o tzv. A-reprezentaci. Tak každý ket-vektor $ \left|t\right> $ můžeme napsat pomocí podmínky úplnosti báze jako

$ \left|t\right> = \hat 1 \left|t\right> = \sum_{n} \left|a_n\right>\left<a_n|t\right> , $

přičemž složky $ t_n = \left<a_n|t\right> $ jsou průměty $ \left|t\right> $ do směru $ \left|a_n\right> $. Uspořádáme-li $ t_n $ ve sloupcový vektor, hovoříme o vektoru $ \left|t\right> $ v A-reprezentaci. Jsou-li složky vektoru $ \left|v\right> $ v A-reprezentaci $ v_n = \left<a_n|v\right> $ a označíme-li

$ t_A^+ = \left(t_1^*,t_2^*,\dots\right) = \left(\left<t|a_1\right>, \left<t|a_2\right>,\dots\right) , $

pak skalární součin $ \left<t|v\right> = t_A^+ v_A = \sum_{n} t_n^* v_n $, což známe z lineární algebry. Tak jako vektoru jsou reprezentovány sloupci svých složek, jsou operátory reprezentovány maticemi, jejichž složky byly zavedeny v kapitole Diracovy symboliky.

Uvažujme nyní přechod od A-reprezentace k B-reprezentaci. Jelikož vlastní vektory $ \left|a_n\right> $ i $ \left|b_n\right> $ tvoří úplný ortonormální systém, je přechod zprostředkován unitární transformací $ \left|b_n\right> = \hat U \left|a_n\right> = \sum_{m} U_{mn} \left|a_n\right> $, kde $ U_{mn} = \left<a_m\right| \hat U \left|a_n\right> $ je unitární matice operátoru $ \hat U $ v A-reprezentaci.

Přechod mezi vektory lze tedy psát pomocí tothoto operátoru jako

$ t_B = U^+ t_A $, $ t_A = U t_B $

a přechod mezi operátory jako

$ F_B = U^+ F_A U $, $ F_A = U F_B U^+ . $

Souřadnicová reprezentace

V této reprezentaci byl rozklad vlnové funkce proveden do vlastních funkcí operátoru souřadnic. Jelikož jsem v této reprezentaci pracovala doteď, nebudu ji již dále rozebírat.

Impulzová reprezentace

Bázi volíme totožnou se systémem vlastních funkcí operátoru hybnosti. Vyjdeme z Fourierovy transformace, která spojuje vlnovou funkci $ \psi (x) $ a její Fourierův obraz $ \phi (p) $:

$ \psi (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(p) \exp{\frac{-px}{i\hbar}} {\rm d}p , $

$ \phi (p) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x) \exp{\frac{px}{i\hbar}} {\rm d}x , $

přičemž $ p $ označuje $ x $-ovou složku hybnosti. Dosazením druhého vztahu do prvního dostaneme

$ \psi (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x') {\rm d}x' \frac {1}{2 \pi \hbar} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp{\frac {p (x'-x)}{i \hbar}} {\rm d}p $,

což je opět původní vlnová funkce $ \psi (x) $. Odtud také plyne vyjádření Diracovy $ \delta $-funkce

$ \delta (x'-x) = \frac {1}{2 \pi \hbar} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp{\frac {p (x'-x)}{i \hbar}} {\rm d}p . $

Nyní najdeme vyjádření operátorů souřadnice $ \hat x $ a impulzu $ \hat p $ při působení na Fourierův obraz $ \phi (p) $

$ \hat p \psi(x) = -i \hbar \frac {\partial \psi(x)}{\partial x} = \frac {1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(p) p \exp{\frac {-px}{i\hbar}} {\rm d}p $.

Z tohoto výrazu je vidět, že v p-reprezentaci, tedy při působení na $ \phi (p) $, má operátor impulzu tvar

$ \hat p = p $.

Obdobně

$ \hat x \psi(x) = x \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(p) (-i \hbar) \frac{\partial}{\partial p} \exp{\frac {-px}{i\hbar}} {\rm d}p . $

Tohle zintegrujeme per-partes a za předpokladu, že vlnová funkce jde k nule pro velké kladné i záporné impulsy, dostaneme

$ \hat x \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} i \hbar \frac {\partial \phi(p)}{\partial p} \exp{\frac{-px}{i\hbar}} {\rm d}p $.

Operátor souřadnic má tedy při působení na funkci $ \phi (p) $ tvar

$ \hat x = i \hbar \frac{\partial}{\partial p} . $

Snadno lze ověřit, že komutační relace je rovna komutační relaci v souřadnicové reprezenataci.

Energetická reprezentace

Zde volíme Hamiltonián jako operátor generující bázi. Matice, která jej reprezentuje, bude tedy diagonální a její vlastní čísla, tedy to, co má na diagonále, budou souviset s vlastními energiemi.

Nejlépe se to vysvětluje a popisuje pomocí anihilačních a kreačních operátorů na příkladu lineárního harmonického oscilátoru. Operátory souřadnice a impulzu převedu na bezrozměrné operátory, které vyjádřím pomocí anihilačního a kreačního operátoru. Jelikož jsou to matice, i operátory impulzu a souřadnice budou matice, a docela pěkné. Nebudu zde uvádět přesnější postup ani výsledky, protože to není těžké, ale zdlouhavé. Odkazuji zde na literaturu.

Integrály pohybu

Operátor časové derivace definujeme vztahem

$ \frac {{\rm d} \hat A}{{\rm d}t} = \frac{\partial \hat A}{\partial t} + i \hbar \left[\hat A, \hat H\right] , $

přičemž platí $ \frac{{\rm d} \left<\hat A\right>}{{\rm d}t} = \left< \frac{{\rm d}\hat A}{{\rm d}t} \right> $.

Fyzikální veličina $ A $ je integrálem pohybu, pokud se zachovává v čase. Tedy, pokud se poslední výraz časové derivace rovná nule. Integrály pohybu v KM mohou být například veličiny, které závisí na kvantových číslech. Ty se během času nemění. Taková veličina je tedy vhodná pro popis odpovídajících stacionárních stavů, například jejich energie.

Pokud předpokládáme, že tato veličina $ A $ explicitně nezávisí na čase, tedy že její parciální derivace podle času je nulová, a pokud předpokládáme, že operátor $ \hat A $ komutuje s Hamiltoniánem, tedy jejich komutátor je nulový, potom z definice operátoru časové derivace plyne, že veličina $ A $ je integrálem pohybu. Pokud kromě toho ještě předpokládáme, že Hamiltonián je nezávislý na čase, můžu řešit nečasovou Schrödingerovu rovnici. Protože operátor $ \hat A $ s Hamiltoniánem komutuje a protože jsou to časově nezávislé operátory, existuje společný systém vlastních funkcí

$ \hat H \psi_n = E_n \psi_n , $

$ \hat A \psi_n = a_n \psi_n . $

Pokud uvážíme obecné řešení Schrödingerovy rovnice a pokud předpokládáme, že vlnová fce je normovaná a funkce $ \psi_n (x) $ tvoří úplný ortonormální systém, je odtud vidět, že jsou časově nezávislé i

• pravděpodobnosti $ p_n $, že se systém nachází ve stavu popsaném vlnovou funkcí $ \psi_n (x) $,
• střední hodnoty $ \left<\hat A\right> = \sum_{n} p_n a_n $ a $ \left<\hat H\right> = \sum_{n} p_n E_n $.

Státní závěrečná zkouška