1a. Mechanika hmotného bodu a soustav hmotných bodů - bez analytickej mechaniky

Sylabus

Mechanika hmotného bodu a soustav hmotných bodů: Základní kinematické veličiny. Newtonovy pohybové zákony. Inerciální soustavy. První a druhá impulzová věta. Keplerovy zákony. Harmonický oscilátor (tlumený i netlumený), vynucené kmity.

Státní závěrečná zkouška

Základní kinematické veličiny

Mechanika popisuje svět dokonale přehledně, geometricky přesně a jednoznačně. V době svého největšího rozkvětu, tedy s Newtonem (1642-1727) a po něm, lidé netušili nic o kvantovém rozmazání mikroskopických těles a přišlo jim, že pomocí mechaniky mohou popsat v podstatě všechny projevy hmoty. Nejeden tehdejší vědec se domníval, že teoreticky, s pomocí Newtonových pohybových zákonů, je možné na základě dokonalé znalosti přítomného stavu předpovědět výpočtem pohybových rovnic jakýkoliv budoucí okamžik, a to libovolně složitého systému. Zkrátka, mechanika je přísně deterministická.

Základním pracovním postupem kinematiky je zkoumané těleso nahradit jedním, popřípadě několika hmotnými body. Hmotný bod má přesně vymezenou bodovou polohu a stejnou hmotnost jako těleso, které zastupuje. Přestože jde o přílišné zjednodušení, které kvantová teorie překonala, a přestože Newtonovy rovnice byly překonány teorií relativity, dodnes se v mnoha případech postup klasické mechaniky využívá. Lze říct, že jakmile se nacházíme mimo silná gravitační pole, mimo velké rychlosti a mimo mikroskopická měřítka, klasická mechanika je stále platná.

Nedělá dobrý dojem, když člověk nemá jasno, jaký je rozdíl mezi slovy kinematika a dynamika. Cítíte blízkost slov „kinematika“ a „kinematografie“? Stejně jako je kinematografie spojená s jakýmsi zobrazováním nějakého pohybu, je i kinematika spojená s jeho ukazováním, popisováním. Kinematika popisuje pohyb, ale nepracuje se silovým působením. (Řecky kinein je hýbat se.) Oproti tomu dynamika se nespokojuje s popisem rozjetého pohybu, ale zkoumá přímo to, jak se pohyb rozjíždí a proměňuje. (Takže zkoumá silové působení.) Řecky dynamos je totiž síla, odsud máme slovo dynamit. Dynamit dává věci do pohybu, dynamika popisuje, jak to ten dynamit dělá.

Je to trochu banální, ale když na to přímo máme první podotázku, pojďme se podívat, s jakými termíny a veličinami pracuje kinematika. Kinematické veličiny jsou: trajektorie a dráha, rychlost a zrychlení, rovnoměrný a nerovnoměrný, přímočarý a křivočarý pohyb.

• Trajektorie je křivka, po které se pohybuje těleso. Pokud ji popisujeme, tak jako funkci času $ r = r(t). $

• Dráha je délka trajektorie.

• Rychlost je limita změny polohy v čase, tedy $ \vec v = \lim_{t_2 \rightarrow t_1} \frac {\vec r(t_2) - \vec r(t_1)}{t_2 - t_1}. $

• Zrychlení je totéž v bleděmodrém, tedy limita změny rychlosti v čase: $ \lim_{t_2 \rightarrow t_1} \frac {\vec v(t_2) - \vec v(t_1)}{t_2 - t_1} . $ Zrychlení často rozkládáme na normálové (kolmé k rychlosti) a tečné (ve směru rychlosti).

• Rovnoměrný pohyb je pohyb s konstantní velikostí rychlosti.

• Přímočarý pohyb má přímou trajektorii, křivočarý pohyb se kroutí a vykrucuje.

Dynamika vychází z Newtonových pohybových zákonů. Zákony jsou tři a jsou zrádné v tom, že nám připadají tak samozřejmé, že občas bývá problém všechny tři si vybavit. Ve své době byly ale tyto zákony revoluční, protože z komplikované skutečnosti prošpikované souvislostmi vytáhly jednoduché základní principy, které dříve nebyl nikdo schopen formulovat.

Newtonovy pohybové zákony, inerciální soustavy, první a druhá impulzová věta

Zákon o setrvačnosti říká, že existuje soustava, ve které těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud je výslednice sil, které na něj působí, nulová. Takovouto soustavu pak nazýváme inerciální soustavou. Jde o větu existenciální, zákon nám říká, že takový systém existuje. Ve fyzice se pak snažíme vždy najít takovýto systém, protože popsané podmínky nám pak velmi ulehčí výpočet.

Zákon o síle se učí každý na základní škole ve tvaru $ {\bf F} = m {\bf a} $ (Někteří učitelé nosí na tričkách heslo: "Když síla, tak zrychlení!"). Newton všechny ohromil, když prohlásil, že zrychlení tělesa je přímo úměrné síle, která na něj působí, a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa. To si nikdo při pozorování pohybů, ve kterých vždy existují různé brzdné síly, neuvědomil. Pomocí této rovnice lze vypočítat trajektorii tělesa, pokud známe jeho hmotnost a síly, které na něj v průběhu pohybu působí. Tento zákon můžeme napsat i ve vhodnějším tvaru: $ \mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t} $, kde $ \mathbf{p} $ je hybnost. Ze speciální relativity totiž víme, že hmotnost tělesa není konstantní.

V praxi samozřejmě kromě velikosti síly, která působí, potřebujeme pro popis znát také to, jak dlouho tato síla působí. Zintegrováním výrazu $ {\bf F}\,{\rm d}t $ získáme veličinu, která se jmenuje impulz síly $ \bf I $.

$ {\bf I} = \int_{t_1}^{t_2} {\bf F}\,{\rm d}t \, . $

Nyní sledujme, jak se po vynásobení $ {\rm d}t $ změní zákon o síle:

$ {\bf F} = m {\bf a} \, \Rightarrow \, {\bf F}\,{\rm d}t = m {\bf a}\,{\rm d}t = m \frac{{\rm d}{\bf v}}{{\rm d}t} {\rm d}t = m\,{\rm d}{\bf v} = {\rm d}{\bf p} \, , $ $ {\bf I} = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}{\bf p} \, . $

Dospěli jsme ke vztahu, který se jmenuje první věta impulzová. Z ní hezky plyne zákon zachování hybnosti. Je-li $ \bf F\,{\rm d}{t} = {\rm d}\bf p $. Pokud tedy na těleso působí nenulová výslednice sil, pak se mění jeho hybnost a naopak pokud se mění hybnost, pak musí být síla na něj působící nenulová.

Nyní přejdeme k otáčivému pohybu. Nejprve si zavedeme značení některých veličin. Moment síly je $ \bf M = r \times F $, moment hybnosti $ \bf L = r \times p $ (jinde můžete najít i označení $ \bf b $) a rotační impulz $ \bf b $ (či impulz momentu síly). Druhá věta impulzová je analogická k první, ale pro otáčivý pohyb. Změna momentu hybnosti je rovna impulzu momentu síly. Tedy

$ {\bf b} = \int_{t_1}^{t_2}{\rm d}{\bf L} = \int_{t_1}^{t_2} {\bf M}\, {\rm d}t \, . $

Jedná se vlastně o stejný vztah jako předchozí, ale zleva vektorově vynásobený $ \bf r $.

$ {\bf F}\,{\rm d}{t} = {\rm d}{\bf p} \,\,\Rightarrow\,\, {\bf r}\times{\bf F}\,{\rm d}{t} = {\bf r}\times{\rm d}{\bf p} \,\,\Rightarrow\,\, {\rm d}{\bf L} = {\bf M}\, {\rm d}t \, . $

Zákon akce a reakce, tedy třetí Newtonův pohybový zákon, je značně populární. Je to ten, který říká, že každá akce vyvolává reakci stejně velikou a opačně orientovanou.

$ {\bf F}_{12} = - {\bf F}_{21} \, . $

Zdánlivé síly

Pokud provádíme popis v neinerciální soustavě, první, ani druhý Newtonův zákon evidentně neplatí. Představme si soustavu roztočeného hrnčířského kruhu, na kterém je kulička. Z pohledu hrnčířského kruhu se kulička na povrchu náhle kamsi odkutálí, aniž by na ni působila nějaká síla. Tento problém ale lze řešit zavedením takzvaných zdánlivých sil, které kompenzují vliv zrychleného pohybu neinerciální soustavy. Nejznámějšími příklady takových nefyzikálních sil je odstředivá síla nebo síla Coriolisova, která působí pouze na tělesa, která se pohybují nerovnoběžně s osou otáčení. Vzoreček pro Coriolisovu sílu (kde $ \bf \Omega $ je vektor rotace) je:

$ {\bf F}_{\rm Cor} = 2m \left({\bf v} \times {\bf \Omega}\right) = - 2m \left({\bf \Omega} \times {\bf v}\right) \,. $

Coriolisova síla působí ve chvíli, kdy se něco pohybuje na sever nebo na jih. Když jedeme k rovníku, zvyšuje se naše vzdálenost od osy otáčení Země, tím pádem se zvyšuje náš moment hybnosti. Úhlová rychlost je stejná, ale absolutní rychlost vlastně roste - jsme tedy urychlováni. Ovšem není žádné zrychlení bez nějaké síly, která by ho způsobila - a v tomto případě je to právě Coriolisova. (Z úplně stejných příčin se na příklad stáčejí větry, které vanou napříč rovnoběžkami.)

Zavedeme-li tyto zdánlivé síly a započítáme-li je mezi reálně působící fyzikální síly, potom lze vesele nadále používat Newtonův zákon o síle. (Dostředivé zrychlení soustavy hrnčířova kruhu bude představovat odstředivá síla, která popisuje z pohledu neinerciální soustavy "nepochopitelné" odkutálení kuličky.)

Vzorec pro odstředivou sílu je

$ {\bf F}_{\rm o} = - m {\bf \Omega} \times \left({\bf \Omega} \times {\bf r}\right) \,. $

Velikostně je pak

$ F_{\rm o} = m\Omega^2 r = \frac{mv^2}{r} \,. $

Eulerova síla, která působí při změně úhlové rychlosti soustavy (s úhlovým zrychlením $ \vec \varepsilon $)

$ {\bf F}_{\rm E} = - m {\vec \varepsilon} \times {\bf r} \,. $

Keplerovy zákony

Johannes Kepler (1571-1630), německý astronom, formuloval tři zákony.

1. Planety obíhají okolo Slunce po elipsách blízkých kružnicím, přičemž elipsy trajektorií planet mají společné ohnisko právě ve Slunci.

2. Plocha opsaná průvodičem planety za určitý čas zůstává stále stejná ve všech místech trajektorie planety.

3. Vztah mezi délkou hlavní poloosy elipsy a a periodou oběhu T je pro všechny planety stejný.

$ \frac{a^3}{T^2} = {\rm konst.} $

Tyto zákony lze odvodit řešením pohybu hmotného bodu v centrálním poli síly. Pro tento pohyb platí, že hmotný bod se pohybuje v rovině (stejně jako kabelka, kterou si prostitutka otáčí okolo ruky - není-li přítomna žádná další síla kromě centrální, kabelka létá v jedné rovině) a jeho kinetická energie se mění v potenciální a naopak. Platí také, že z-ová složka momentu hybnosti je konstantní, tedy $ mr^2 \dot \varphi = {\rm konst}. $ Explicitním řešením trajektorie hmotného bodu je vzoreček

$ r = \frac{p}{1 + \varepsilon \, cos \varphi}. $

Proměnná r je vzdálenost od ohniska (Slunce), p je parametr, který závisí na tom, kam na počátku všeho matka Příroda planetu nasměrovala, $ \varphi $je úhel vyjadřující polohu na kuželosečce a konečně $ \varepsilon $ je parametr, na kterém závisí, o jakou kuželosečku jde.

Snadno si představíme, že kdyby někdo napálil třeba takový Mars do Sluneční soustavy příliš rychle, Mars by neobletoval Slunce po elipse, ale Sluneční soustavou by prolétl po zakřivené trajektorii – po hyperbole. Kdyby měl přesně takovou kinetickou energii, která by akorát vyrovnala jeho zápornou potenciální energii danou gravitačním polem Slunce, odlétal by po parabole. Jenomže se nestal ani jeden z těchto případů, měl energii menší, tedy oblétává Slunce chudák pořád do zblbnutí po elipse. Minimální možnou energii při daném parametru p by měl, kdyby létal po kružnici. Parametr $ \varepsilon $ je pro tyto jednotlivé případy takovýto:

• hyperbola $ \varepsilon > 1 \, , $

• parabola $ \varepsilon = 1 \, , $

• elipsa $ \varepsilon < 1 \, , $

(ovšem $ \varepsilon $ není záporné, to je stejné jako v analýze)

• kružnice $ \varepsilon = 0 \, . $

S tímto parametrem se spojují pojmy tak zvaných kosmických rychlostí. Aby hmotný bod mohl obíhat těsně nad povrchem kulaté Země po kružnici, musí mít první kosmickou rychlost, tedy 7,9 km/s. Aby mohl z povrchu Země opustit gravitační pole Země, musí dosáhnou druhé kosmické rychlosti, tedy 11,2 km/s. Aby z povrchu Země mohl opustit gravitační pole Slunce, musí dosáhnout třetí kosmické rychlosti 16,7 km/s (s úvahou, že Země obíhá kolem Slunce a sondu střílíme ve správném směru).

Druhý Keplerův zákon lze snadno odvodit ze zachování momentu hybnosti. Plocha opsaná průvodičem je cosi jako trojúhelník. Její obsah závisí jednak na vzdálenosti planety $ r $ od Slunce, jednak na rychlosti, kterou tato planeta letí, tedy $ r \dot \varphi . $ Pokud předpokládáme konstantní hmotnost planety $ m $, pak se stačí podívat, jak vypadá zachování momentu hybnosti zapsané rovnicí:

$ mr^2 \dot \varphi = {\rm konst.} $

To, na čem závisí plocha opsaná průvodičem, dává v součinu s hmotností přesně pravou stranu uvedené rovnice. Zachovává-li se moment hybnosti, nutně se zachovává i velikost plochy opsaná průvodičem planety za určitý čas.

Harmonický oscilátor (tlumený i netlumený), vázané oscilátory

Harmonický oscilátor je v základu mnoha fyzikálních dějů - v přírodě osciluje prakticky všechno: atomy v krystalické mřížce, částice vzduchu nesoucí zvuk, elektrony v orbitalech a kdoví, co ještě.

Pokud někde máme netlumený harmonický oscilátor, lze ho popsat rovnicí

$ \ddot x + \omega ^2 x = 0 $ , kde $ \omega $ je frekvence kmitů.

Pokud se ovšem setkáváme s tlumenými kmity, v rovnici se objeví navíc člen brzdič, nechť je to $ 2 \delta \dot x $. Pak máme rovnici $ \ddot x + 2 \delta \dot x + \omega ^2 x = 0 $.

Řešením této rovnice je $ x = c_1 e^{(- \delta + D)t} + c_2 e^{(- \delta - D)t} $ , kde $ D = \sqrt{\delta^2 - \omega^2} $.

Jak jistě víte, tlumené kmity mají v podstatě tři možnosti, jak mohou dopadnout. Závisí pouze na vzájemném poměru frekvence kmitů $ \omega $ a parametru brzdiče $ \delta $. Jaké ty tři možnosti tedy jsou?

a) aperiodický pohyb ($ \delta > \omega $)

To je třeba kmitající závaží na pružince, které ponoříme do medu. Neudělá to vůbec nic, než že to plácne do hladiny a zastaví se dřív, než stihne vykonat nějaký kmit. (Matematicky: Obě exponenciály v řešení rovnice tlumeného harmonického oscilátoru mají záporný argument, s časem jdou smírně do nuly.)

b) tlumený harmonický kmit ($ \delta < \omega $)

To je závaží na pružince, které ponoříme do vody. Amplituda rychle klesá, ale pár kmitů přeci jen ještě stihne udělat, než ji to zastaví. (Matematicky: V argumentu exponenciály se zjeví komplexní číslo, řešení přejde po úpravě na tvar $ x = c e^{- \delta t} sin(\omega^{*} t + \varphi) $, kde $ \omega^{*} = \sqrt{\omega^2 - \delta^2} $. Sinus zajistí kmity, exponenciála zařídí pokles do nuly.)

c) mezní aperiodický pohyb ($ \delta = \omega $)

Diferenciální rovnice pro tento případ se musí řešit zvlášť, protože její charakteristický polynom má dvojnásobný kořen. Ten nastává, když pružinku plácneme do směsi vody a medu. Ehm, prostě je to vyladěné přesně tak, že se vzdálenost exponenciálně blíží k rovnovážné poloze. (Matematicky: Exponenciály se sečtou v jednu, neb mají stejný argument.)

Pokud na oscilátor působí periodická síla, která má frekvenci, která je celočíselným násobkem frekvence oscilátoru, nastává rezonance. Na tomhle jevu stojí například skoro celá hudba: flétna, kytara, smyčcové nástroje, všechny vděčí svému zvuku za rezonanci. Přenos informace pomocí elektromagnetických vln (například rádio) rezonance taky hojně využívá - jak víte, ladění rádia spočívá právě v nastavování rezonanční frekvence, která je z éteru přiváděna na zesilovač. Rezonance ale umí dělat i pěkný bordel - několik mostů padlo kvůli tomu, že do nich fučel kolísavý vítr nebo po nich pochodovali vojáci jedním krokem. No však sami byste jistě vymysleli spoustu dalších příkladů, kde se všude rezonance projevuje.

Řešení kmitání s vnější silou na pravé straně je na wiki včetně vzorce pro rezonanční křivku.

Další kapitolou jsou vázané oscilátory, které se pochopitelně liší silou vazby. Například železná tyč je soustava dost silně vázaných oscilátorů, proto velmi rychle vede zvuk a je dost málo pružná. Na Wikipedii k tomu píší: "Je-li počet vzájemně vázaných (mechanických) oscilátorů velký, tvoří soustavu, která není tuhá, a kterou je možné nahradit spojitě rozloženou hmotou pružného tělesa. V důsledku velkého množství částic a vazeb mezi nimi dochází k přenosu energie kmitavého pohybu mezi jednotlivými body tělesa, což se nazývá vlněním."

Příkladem vázaných oscilátorů jsou také třeba dvě závaží na pružinkách, které jsou spojené třetí slabou pružinkou. Jedná se o slabou vazbu, která může způsobit, že energie se postupně přelévá z jedné pružinky do druhé, až v jeden okamžik jedna pružinka prakticky stojí, zatímco druhá má skoro všechnu energii. Hned se samozřejmě energie začne opět předávat nazpátek, role se mohou vystřídat. Takovéto složité kmitání je periodické a pokud nastávají ty situace, kde jeden oscilátor převezme značnou část energie druhého oscilátoru, mluvíme o takzvaných rázech.

D'Alembertův princip, Lagrangeovy rovnice 2. druhu, Hamiltonovy kanonické rovnice

ODSUD DÁLE TO PATŘÍ K JINÉ OTÁZCE.

D'Alembertův princip je v podstatě trochu obecnější verze Newtonových zákonů. Výhodou je, že v jedné formulaci zahrnuje D'Alembertův vzoreček, pardon, princip jak případy bez vazeb, tak případy s vazbami. V tomto principu se pracuje s virtuálním posunutím $ \delta x_i $, což je nekonečně malé pomyslné posunutí sledovaného bodu, které je v souladu s přítomnými vazbami.

Než se podíváme na vzoreček, řekneme si slovy, co D'Alembertův princip říká: "Působí-li síla na hmotný bod ve směru, ve kterém se hmotný bod může pohybovat (tzn. není-li působící síla neutralizována vazbami), pak tuto sílu vyrovnává setrvačná síla hmotného bodu. Jinými slovy, hmotný bod je urychlován." Řečeno vzorečkem:

Soustava N hmotných bodů se vyvíjí takovým způsobem, že v každém okamžiku platí

$ \sum_{i=1}^{3N} (m_i \ddot x_i - F_i ) \delta x_i = 0 \, . $

Moderní varianta téhož vypadá takto:

$ (m_i \ddot{\bf r} - {\bf F} ) \cdot {\bf v} = 0 \, . $

Aby tvrzení, že je tohle obecnější verze Newtonových zákonů, jen tak nevlálo ve vzduchu, tady máme důkaz místo prázdných prohlášení:

a) Pokud nejsou přítomny žádné vazby, potom $ \delta x_i $ je zcela libovolné. Nutně tedy pro každý bod a každou dimenzi musí platit $ m_i \ddot x_i - F_i = 0 $. A to je Newtonův zákon, že ano.

b) Pokud se sytém nijak nehýbe a všechno stojí, potom není žádné zrychlení a D'Alembertův vzoreček vypadá takto:

$ \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta_i = 0 \, , $

což jinými slovy říká, že působící síly jsou kolmé vůči směrům, ve kterým se hmotný bod, na který působí, může pohybovat. Tento vzoreček se zároveň používá jako formulace podmínky stability.

Pro konzervativní síly, tedy pro síly, které mají potenciál, přejde poslední zmíněný vzoreček, podmínka stability, na tvar

$ \sum_{i=1}^{3N} - \frac{\partial U_i}{\partial x_i} \delta_i = 0 \, , $

což při troše matematické tolerance můžeme chápat a psát ve tvaru

$ \delta U = 0 \, . $

Slovy: Systém je v rovnováze, pokud nekonečně malé posunutí nevede ke změně potenciálu. Ti, co prošli matematickou analýzou v prváku s pochopením, už tuší, že nemluvíme o ničem jiném, než že má potenciál ve stabilním stavu extrém.

D'Alembertův princip je ekvivalentní s Lagrangeovými rovnicemi 1. druhu pro n vazeb:

$ m_i \ddot x_i = F + \sum_{k=1}^{n} \lambda_k \frac{\partial \varphi _k}{\partial x_i} \, , $

kde $ \varphi = 0 $ je vazba. (Pro osvěžení paměti: $ x - ky + c = 0 $ je rovnice vazby na přímce či $ \left( x-a \right)^2 + \left( y-b \right)^2 - r^2 = 0 $ je vazba na kružnici se středem $ \left[a,b\right] $ a poloměru $ r $.)

Daleko elegantnější a šikovnější je ovšem používat Lagrangeovy rovnice 2. druhu, které pracují se zobecněnými souřadnicemi $ q_i $ a zobecněnými rychlostmi $ \dot q_i $.

Tyto zobecněné souřadnice jsou parametry, které jednoznačně určují stav sledovaného hmotného bodu v takzvaném konfiguračním prostoru, což je množina všech možných poloh a rychlostí, které by mohl hmotný bod mít. Předchozí věta neříká nic nového, jen zavádí pojem, díky kterému možná u státnic budeme vypadat chytřeji. Pojďme se ale konečně podívat, jak vypadají ony rovnice 2. druhu (proměnná $ x $ označuje kartézské souřadnice):

$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \left(\frac{\partial E_k}{\partial \dot q_i}\right) - \frac{\partial E_k}{\partial q_i} = \sum_{j=1}^{3N} F_j \frac{\partial x_j}{\partial q_i} \, . $

Pokud $ \bf F $ je konzervativní síla, pak ji můžeme vyjádřit jako derivace potenciálu podle souřadnic $ x $, a po úpravách rovnice 2. druhu, se zavedením Lagrangeovy funkce (Lagrangián) $ L = E_k - U $, dostaneme Lagrangeovy rovnice 2. druhu pro potenciálové síly

$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \, . $

Aby toho nebylo málo, vyvinuli fyzici ještě pokročilejší formulaci mechaniky, totiž Hamiltonovy kanonické rovnice. Oproti Lagrangeovým rovnicím 2. druhu používají Hamiltonovy rovnice trošku jiné proměnné. Místo $ q, \dot q, t $ se používá $ q, p, t $. To, co se u Lagrange nazývalo konfigurační prostor, jmenuje se teď fázový prostor. Jediný rozdíl je v té jediné proměnné, která se změnila, tedy v zavedené kanonické sdružené hybnosti místo rychlosti hmotného bodu.

Kanonické hybnosti jsou zavedeny vztahem $ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} $.

Superelegantní Hamiltonovy kanonické rovnice jsou

$ \frac{\partial H}{\partial p_j} = \dot q_j \, , $ $ \frac{\partial H}{\partial q_j} = - \dot p_j \, . $

Ono tajemné $ H $ značí slavný hamiltonián, tedy funkci proměnných pouze z fázového prostoru $ \left(q,p,t\right) $, která je dána vztahem:

$ H = \sum_{j=1}^n p_j \dot q_j - L \, . $

Tyto rovnice je možné zapsat pomocí Poissonových závorek

$ \{ f,g \}= \sum_{j=1}^{N} \left(\frac{\partial f}{\partial q_j}\frac{\partial g}{\partial p_j} - \frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial g}{\partial q_j}\right) $

Hamiltonovy kanonické rovnice potom jsou

$ \dot q_i = \{q_i , H \},\quad \dot p_i = \{p_i , H \} \, . $

Státní závěrečná zkouška