1b. Mechanika hmotného bodu a soustav hmotných bodů - analytická mechanika

Sylabus

1b. D'Alembertův princip. Lagrangeovy rovnice 2. druhu. Hamiltonovy kanonické rovnice.

Státní závěrečná zkouška

D'Alembertův princip

(1742)

Síly mechanické soustavy jsou v rovnováze, přičteme-li k silám vtištěným síly setrvačné.

Vtištěné síly jsou "opravdové" síly známého charakteru (gravitační, elektromagnetická, ... )

Matematicky pro soustavu $ N\, $ hmotných bodů

$ \sum_{i=1}^{3N} (m^i \ddot{x}^i-F_i) \delta x^i=0 $

kde $ \delta x^i\, $ jsou virtuální posunutí (klasicky: nekonečně malá posunutí, která jsou v každém okamžiku v souladu s vazbami, geometricky: vektory z tečného prostoru vazby). Vazby zde představují omezení jinak volného pohybu (nejjednodušším případem vazby je např. matematické kyvadlo). Vazby (popsané rovnicí $ \varphi(\vec{r}) = 0 $) dělíme podle několika základních kritérií

• podle geometrie
  • oboustranná: $ \varphi(\vec{r}) = 0 $
  • jednostranná: $ \varphi(\vec{r}) \geq 0 $
• podle závislosti na čase
  • skleronomní (nezávislá na čase): $ \varphi(\vec{r}) $
  • rheonomní (měnící se s časem): $ \varphi(\vec{r},t) $
• podle závislosti na rychlosti
  • holonomní (nezávislá na rychlosti): $ \varphi(\vec{r},t) $
  • neholonomní (závislá na rychlosti): $ \varphi(\vec{r},t,\vec{v}) $

D'Alembertův princip platí jen pro vratná virtuální posunutí, tedy taková virtuální posunutí $ \delta x^i\, $, pro která platí, že i $ -\delta x^i\, $ je virtuální posunutí. Pro nevratná virtuální posunutí ($ -\delta x^i\, $ není virtuální posunutí) platí úprava D'Alembertova principu s nerovností.

Speciální případy D'Alembertova principu:

• Newtonovy pohybové zákony - pohyb bez vazeb: $ \delta x^i\, $ je zcela libovolné. Z toho plyne, že

$ (m^i \ddot{x}^i-F_i) = 0\ \ \ \ \ \ \forall i $

Ekvivalentně

$ m^i \ddot{x}^i = F_i $

• Princip virtuální práce (Johann Bernoulli, 1717)

Žádný pohyb (statika): $ \ddot{x}^i = 0 $ a tedy platí

$ \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x^i=0 $

(práce - součin síly a posunutí). Princip virtuální práce říká, že práce systému při virtuální výchylce z rovnovážné polohy je nulová (umožňuje tedy najít rovnovážnou polohu). Formálně lze psát $ \delta A = 0\, $.

Speciálně pro konzervativní síly platí

$ 0 = \delta A = \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x^i= - \sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial V}{\partial x^i} \delta x^i = - \delta V(x^j) $

jednoduše $ \delta V = 0\, $, tedy změna potenciálu je při virtuálním posunutí nulová $ \Rightarrow $ v rovnováze má potenciál extrém (labilní, stabilní, indiferentní rovnováha).

Lze dokázat, že D'Alembertův princip je ekvivalentní Lagrangeovým rovnicím I. druhu (pro $ N\, $ hmotných bodů a $ v\, $ vazeb):

$ m^i \ddot{x}^i = F_i + \sum_{k=1}^v \lambda_k \frac{\partial \varphi_k}{\partial x^i} $

s vazbami

$ \varphi_k\,(x^j,t)=0 $

($ i=1,2,...,3N\, $, $ j=1,2,...,3N\, $ a $ k=1,2,...,v\, $). $ F_i\, $ je i-tá komponenta výslednice vtištěných sil, $ \lambda_k\, $ jsou Lagrangeovy multiplikátory. Celkem máme $ 3 N + v\, $ rovnic pro stejný počet neznámých.

Lagrangeovy rovnice II. druhu

Pro efektivnější popis systému je vhodné zavést zobecněné souřadnice $ q^1, q^2, ... , q^n\, $ (vhodně zvolené libovolné parametry, které jednoznačně popisují všechny možné konfigurace systému). Používáme $ n\, $ zobecněných souřadnic, kde $ n = 3 N - v\, $ je počet stupňů volnosti systému. Dále předpokládáme, že existuje regulární vztah $ x^i = x^i\,(q^1, q^2, ... , q^n) $ ($ x^i\, $ jsou kartézské složky poloh jednotlivých hmotných bodů).

Zobecněné souřadnice popisují konfigurační prostor $ Q\, $ všech možných poloh (konfigurací) systému, což ale není prostor fyzikálních stavů - vypovídá jen o polohách (Zénonův paradox - poloha neurčuje stav systému, rychlost nepoznám z polohy). Proto $ Q\, $ doplníme o rychlostní parametry $ \dot{q}^1, \dot{q}^2, ... , \dot{q}^n $, zobecněné rychlosti (dodatečné parametry nezávislé na poloze). Formálně $ \frac{\partial q^i}{\partial q^j}=\delta_{ij} $ a $ \frac{\partial \dot{q}^i}{\partial \dot{q}^j}=\delta_{ij} $, ale $ \frac{\partial \dot{q}^i}{\partial q^j}=0 $ a $ \frac{\partial q^i}{\partial \dot{q}^j}=0 $.

Pro $ N\, $ hmotných bodů a $ v\, $ vazeb můžeme psát Lagrangeovy rovnice II. druhu (LR II)

$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^j}=Q_j $

kde $ T\,(q^j, \dot{q}^j, t) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3N} m^i \left( \frac{\partial x^i}{\partial q^k}\dot{q}^k + \frac{\partial x^i}{\partial t}\right)^2 $ je kinetická energie a $ Q_j := \sum_{i=1}^{3N} F_i \frac{\partial x^i}{\partial q^j} $ zobecněná síla. Tyto rovnice představují soustavu $ n = 3 N - v\, $ obyčejných diferenciálních rovnic pro stejný počet neznámých $ q^j(t)\, $.

Speciálně pokud jsou síly $ F_i\, $ konzervativní, lze obecně komplikované složky zobecněné síly $ Q_j\, $ vyjádřit pomocí jediné skalární veličiny - potenciálu $ V\, $ (neboť $ F_i = - grad V\, $). Konkrétně

$ Q_j = \sum_{i=1}^{3N} F_i \frac{\partial x^i}{\partial q^j} = - \sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial V}{\partial x^i} \frac{\partial x^i}{\partial q^j} = - \frac{\partial V}{\partial q^j} $

Lagrangeovy rovnice II. druhu lze pak přepsat do tvaru

$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^j} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial V}{\partial q^j} $

neboť $ \frac{\partial V}{\partial \dot{q}^j} = 0 $ (potenciál $ V\, $ je funkcí pouze $ q^j\, $, ale nezávisí na $ \dot{q}^j $ ani na $ t\, $). Celkem tedy můžeme psát Lagrangeovy rovnice II. druhu pro konzervativní síly

$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j} = 0 $

kde $ L := T - V\, $ je Lagrangeova funkce (lagrangián) ($ L\,(\dot{q}^j, q^j, t) $).

Pro některá silová pole lze nalézt tzv. zobecněný potenciál $ V\,(\dot{q}^j, q^j, t) $ (narozdíl od "normálního" potenciálu závisí i na rychlosti a na čase). To je případ třeba elektromagnetické interakce. Předchozí rovnice pro konzervativní pole pak platí pro Lagrangeovu funkci vypočtenou právě ze zobecněného potenciálu.

Integrály pohybu (IP)

Integrál pohybu je nějaký výraz $ f\,(q^j, \dot{q}^j, t) $, který zůstává v čase konstantní pro skutečný pohyb. Neboli $ f\,(q^j, \dot{q}^j, t) = f\,(q^j(t), \dot{q}^j(t), t) = f\,(t) = konst\,\,\forall t $ (zde $ q^j(t)\, $ jsou trajektorie řešící LR II. Pro různé trajektorie $ q^j(t)\, $ je přitom příslušná hodnota $ f(t) = konst\, $ obecně různá).

Existují věty užitečné při hledání integrálů pohybu:

• a) Pokud Lagrangeova funkce $ L\, $ nezávisí na některé zobecněné souřadnici $ q^i\, $, pak výraz $ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} $ je integrálem pohybu. Říkáme, že $ q^i\, $ je cyklická.
• b) Pokud Lagrangeova funkce $ L\, $ nezávisí explicitně na čase $ t\, $, pak výraz $ h\,(q^j, \dot{q}^j) := \sum_{j=1}^n \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j} \dot{q}^j - L $ je integrálem pohybu. Tento výraz $ h\, $ se nazývá zobecněná energie.

Pokud jsou působící síly konzervativní a pokud vazby jsou holonomní a skleronomní, pak platí $ h = T + V\, $. Obecně rheonomní vazby dodávají / odebírají systému energii a proto se $ T + V\, $ nezachovává, může se ale zachovávat $ h\, $ (za předpokladů uvedených výše).

Pohyb částice v centrálním poli

je důležitou aplikací Lagrangeova formalismu. Lagrangeova funkce má v tomto případě tvar

$ L = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2) - V(r) $

Zřejmě $ \varphi $ je cyklická $ \Rightarrow $ $ \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = m r^2 \dot{\varphi} = l = konst $, což je známý zákon zachování momentu hybnosti $ l\, $ (konkrétně jeho $ \,z $-ové složky).

Navíc $ L\, $ nezávisí explicitně na čase $ \Rightarrow $ $ h = konst\, $, zde dokonce $ h = T + V = E = konst\, $ (zákon zachování celkové mechanické energie).

Dosazením obou rovnic do výrazu pro lagrangián po krátkých úpravách dostáváme

$ \dot{r}^2 + \frac{l^2}{m^2 r^2}= \frac{2}{m} \left[ E - V(r) \right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\star) $

Pro určení trajektorie ($ r(\varphi) $) použijeme následující trik: Zavedeme funkci $ u(\varphi) = \frac{1}{r(\varphi)} $. Zjevně platí

$ \dot{r}(t) = \frac{d r (t)}{d t} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{u(\varphi(t))}\right) = - \frac{1}{u^2} \frac{d u}{d \varphi} \dot{\varphi} = - \frac{l}{m} \frac{d u}{d \varphi} $

(v poslední rovnosti jsme dosadili ze zákona zachování hybnosti). Dosazením tohoto výrazu do rovnice $ (\star) $ a zderivováním podle $ \varphi $ po jednoduchých úpravách dostaneme Binetův vzorec pro pohyb částice v libovolném centrálním poli

$ \frac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = - \frac{m}{l^2} \frac{d V}{d u} $

(zadáním konkrétního tvaru potenciálu $ V(u)\, $ dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu pro funkci $ u(\varphi) $, z jejího řešení pak snadno získáme $ r(\varphi) = \frac{1}{u(\varphi)} $).

Metoda efektivního potenciálu

Umožňuje kvalitativní rozbor možných pohybů bez explicitního řešení příslušné diferenciální rovnice. Rovnici $ (\star) $ upravím do tvaru

$ \dot{r}^2 = \frac{2}{m} \left[ E - \left( V(r) + \frac{l^2}{2 m r^2} \right) \right] = \frac{2}{m} \left[ E - V_{ef}(r) \right] \geq 0 $

Pohyb je tedy možný jen pro taková $ r\, $, pro která $ V_{ef}(r) \leq E $. V místě $ V_{ef}(r) = E\, $ ($ \dot{r} = 0 $) je tzv. bod obratu v radiálním směru (radiální složka rychlosti je nulová, pohyb blíže ke zdroji centrálního pole již není možný).

Pohyb dvou těles

Studujme pohyb 2 objektů ($ m_1, \vec{r}_1, m_2, \vec{r}_2 $) se vzájemnou gravitací. Lagrangián problému má tvar

$ L = \frac{1}{2} m_1 \dot{\vec{r}}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{\vec{r}}_2^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} $

Úlohu lze snadno převést na úlohu v centrálním poli: Zavedeme nové souřadnice - polohu těžiště soustavy

$ \vec{R} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2} $

a relativní polohu

$ \vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 $

Lagrangián má teď jiný tvar

$ L = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \dot{\vec{R}}^2 + \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \dot{\vec{r}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{r} $

Zjevně $ \vec{R} $ je cyklická souřadnice $ \Rightarrow $ $ \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{R}}} = (m_1 + m_2) \dot{\vec{R}} = konst $. Celková hybnost je konstantní, těžiště se pohybuje rovnoměrně přímočaře - s výhodou lze přejít do těžišťové soustavy, kde $ \vec{R} = 0 $. Lagrangián lze ještě zjednodušit na

$ L = \frac{1}{2} \mu \dot{\vec{r}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{r} = T - V $

Zde $ \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} $ je tzv. redukovaná hmotnost. Pohyb dvou těles jsme převedli na problém pohybu v centrálním poli.

Hamiltonovy kanonické rovnice

Další možnost k popisu systému nabízí Hamiltonův formalismus. Hamiltonův formalismus je matematickým konstruktem, při kterém z Lagrangeovy funkce přejdeme Legendreovou transformací k jisté funkci $ H(q^i,p_i,t) $, kterou označíme Hamiltoniánem. Konfigurační prostor pak nahradíme fázovým prostorem. Ten je tvořen zobecněnými souřadnicemi $ q^i\, $ a kanonicky sdruženými hybnostmi $ p_i\, $. Jak je známo z vlastností Legendreovy transformace, při tomto procesu neztrácíme žádnou informaci a bod ve fázovém prostoru plně určuje stav systému(závěr: stačí si pamatovat, že přechod od L k H je Legendreova transformace, všechno ostatní je na 5min odvození z tohoto faktu).

Kanonické hybnosti jsou definovány vztahem

$ p_i := \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (+) $

K popisu systému pak stačí znát Hamiltonovu funkci (hamiltonián)

$ H (q^i, p_i, t) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \dot{q}^i - L(q^i,\dot{q}^i, t) = \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - L(q^i,\dot{q}^i, t) $

kde za zobecněné rychlosti $ \dot{q}^i $ dosazujeme z inverze vztahu $ (+) $.

Pohybovými rovnicemi tohoto formalismu jsou Hamiltonovy kanonické rovnice (HKR)

$ \frac{\partial H}{\partial p_i} = \frac{d q^i}{d t} = \dot{q}^i $

$ \frac{\partial H}{\partial q^i} = - \frac{d p_i}{d t} = - \dot{p}_i $

Pokud hamiltonián nezávisí explicitně na čase, pak je integrálem pohybu, neboť

$ \frac{d}{d t} \left( H(q^i(t), p_i(t)) \right) = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q^i} \dot{q}^i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \dot{p}_i \right) = \sum_{i=1}^n \left( -\dot{p}_i \dot{q}^i + \dot{q}^i \dot{p}_i \right) = 0 $

Zavedeme Poissonovy závorky

$ \{u,v\} := \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial q^i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial v}{\partial q^i} \frac{\partial u}{\partial p_i} $

speciálně $ \{q^r,q^s\} = 0\, $, $ \{p_r,p_s\} = 0\, $, $ \{q^r,p_s\} = \delta{rs}\, $. Poissonovy závorky jsou lineární a splňují Jacobiho identitu

$ \{w,\{u,v\}\} + \{v,\{w,u\}\} + \{u,\{v,w\}\} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (J) $

Je-li $ u\,(q^i, p_i)\, $ integrálem pohybu, lze psát

$ 0 = \frac{d u}{d t} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial q^i} \dot{q}^i + \frac{\partial u}{\partial p_i} \dot{p}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial q^i} \frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial u}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q^i} = \{u,H\} $

čili $ \{u,H\} = 0\, $. Předpokládejme navíc, že také $ v(q^i, p_i)\, $ je IP ($ \Leftrightarrow $ $ \{v,H\} = 0\, $). Použitím $ (J)\, $ dostáváme

$ \{\{u,v\},H\} = - \{\{v,H\},u\} - \{\{H,u\},v\} = 0\, $

tedy $ \{u,v\}\, $ je také IP. Většinou ale není nezávislým IP.

Pomocí Poissonových závorek můžeme HKR psát ve tvaru

$ \dot{q}^i = \{q^i,H\} $

$ \dot{p}_i = \{p_i,H\} $

Kanonické transformace

Zkoumáme změnu parametrizace fázového prostoru, tedy transformaci $ (q^i,p_i) \rightarrow (Q^i,P_i) $

Def.: transformace je kanonická, pokud zachovává kanonickou strukturu, tzn. že pohybové rovnice v nových souřadnicích jsou opět HKR. Ekvivalentně, že existuje funkce $ H\,'(Q^i,P_i,t) $, pro kterou platí

$ \frac{\partial H'}{\partial P_i} = \frac{d Q^i}{d t} = \dot{Q}^i $

$ \frac{\partial H'}{\partial Q^i} = - \frac{d P_i}{d t} = - \dot{P}_i $

(zdaleka ne každá transformace je kanonická). Hledání podmínek kanoničnosti transformace vede na následuící větu:

Lagrangeova funkce $ L + \frac{d F}{d t} $, kde $ F\, $ je libovolná (hladká) funkce, dává stejné pohybové rovnice jako funkce $ L\, $. Tuto funkci $ F\, $ nazýváme generující funkcí kanonické transformace, přičemž předpokládáme, že závisí na

• starých souřadnicích / hybnostech
• nových souřadnicích / hybnostech

Rozlišujeme 4 druhy generujících funkcí, které jsou vzájemně svázány Legendreovou duální transformací:

$ F_1\,(q^i, Q^i, t) $

$ F_2\,(q^i, P_i, t) = F_1 + \sum_{i=1}^n P_i Q^i $

$ F_3\,(p_i, Q^i, t) = F_1 - \sum_{i=1}^n p_i q^i $

$ F_4\,(p_i, P_i, t) = F_1 + \sum_{i=1}^n P_i Q^i - \sum_{i=1}^n p_i q^i $

(analogie s termodynamikou $ F_1 \sim U,\ F_2 \sim H,\ F_3 \sim F,\ F_4 \sim G,\ q \sim S,\ Q \sim V,\ p \sim T,\ P \sim p $). Kanonické transformace tvoří grupu.

Jak prakticky ověřit, že daná transformace je kanonická?

• 1 Pomocí Poissonových závorek: transformace $ (q^i,p_i) \rightarrow (Q^i,P_i) $ je kanonická $ \Leftrightarrow $ $ \{Q^i,P_j\} = \delta_{ij},\ \{Q^i,Q^j\} = 0,\ \{P_i,P_j\} = 0 $.
• 2 Pomocí následující tabulky (konkrétně z libovolného řádku třetího sloupce)

generující funkce	podmínky kanoničnosti	podmínky integrability
$ F_1\,(q^j,Q^j,t) $	$ \frac{\partial F_1}{\partial q^i} = + p_i,\ \frac{\partial F_1}{\partial Q^k} = - P_k $	$ \frac{\partial p_i}{\partial Q^k} = - \frac{\partial P_k}{\partial q^i} $
$ F_2\,(q^j,P_j,t) $	$ \frac{\partial F_2}{\partial q^i} = + p_i,\ \frac{\partial F_2}{\partial P_k} = + Q^k $	$ \frac{\partial p_i}{\partial P_k} = \frac{\partial Q^k}{\partial q^i} $
$ F_3\,(p_j,Q^j,t) $	$ \frac{\partial F_3}{\partial p_i} = - q^i,\ \frac{\partial F_3}{\partial Q^k} = - P_k $	$ \frac{\partial q^i}{\partial Q^k} = \frac{\partial P_k}{\partial p_i} $
$ F_4\,(p_j,P_j,t) $	$ \frac{\partial F_4}{\partial p_i} = - q^i,\ \frac{\partial F_4}{\partial P_k} = + Q^k $	$ \frac{\partial q^i}{\partial P_k} = - \frac{\partial Q^k}{\partial p_i} $

Příslušná transformace Hamiltoniánu:

$ H'(Q^j,P_j,t) = H(q^j,p_j,t) + \frac{\partial F_a}{\partial t} \mid_{po\ dosaz.} $

kde $ j=1,2, ... , n,\ \ a = 1,2,3,4 $

Věta: Poissonovy závorky jsou invariantní vůči kanonické transformaci: $ \forall\ f,g : \{f,g\}_{q,p} = \{f,g\}_{Q,P} $, tzn.

$ \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial q^i} \frac{\partial f}{\partial p_i} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial Q^i} \frac{\partial g}{\partial P_i} - \frac{\partial g}{\partial Q^i} \frac{\partial f}{\partial P_i} $

Liouvilleova věta

Objem fázového prostoru je invariantní vůči kanonickým transformacím. konkrétně pro $ n=1\, $:

$ V = \int \int dQ dP = \int \int |J| dq dp = \int \int dq dp $

neboť $ |J| = \begin{vmatrix} \frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \\ \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \end{vmatrix} = \frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p} \frac{\partial P}{\partial q} = \{Q,P\} = 1 $

kde poslední rovnost plyne z kanoničnosti transformace.

Hamiltonova - Jacobiho teorie

Jedna z dalších formulací analytické mechaniky.

Využijeme kanonickou transformaci generovanou např. funkcí $ F_1\,(q^j,Q^j,t) $:

$ \frac{\partial F_1}{\partial q^i} = + p_i \ \ \ \ \ \ (1) $

$ \frac{\partial F_1}{\partial Q^i} = - P_i \ \ \ \ \ \ (2) $

$ H'(Q^j,P_j,t) = H(q^j,p_j,t) + \frac{\partial F_1}{\partial t} \ \ \ \ \ \ (3) $

přičemž v nových souřadnicích opět platí HKR:

$ \frac{\partial H'}{\partial P_i} = \frac{d Q^i}{d t} = \dot{Q}^i \ \ \ \ \ \ (4) $

$ \frac{\partial H'}{\partial Q^i} = - \frac{d P_i}{d t} = - \dot{P}_i \ \ \ \ \ \ (5) $

Navíc zvolíme speciální generují funkci $ S\,(q^i,Q^i,t) = F_1 $ takovou, že po transformaci $ H' = 0\, $. Z rovnic $ (4) $ a $ (5) $ dostáváme

$ Q^i = konst = \alpha^i\, $

$ P_i = konst = - \beta_i\, $

a vztah $ (2) $ přepíšeme na

$ \frac{\partial S(q^j,\alpha^j,t)}{\partial \alpha^i} = \beta_i $

Inverzí získáme řešení $ q^j\,(t,\alpha^i,\beta_i) $.

Funkce $ S $ se nazývá akce (akční funkcionál) a určíme ji z Hamiltonovy - Jacobiho rovnice:

$ H\left(q^i,\frac{\partial S}{\partial q^i},t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 $

Státní závěrečná zkouška