9. Základní principy speciální teorie relativity

Sylabus

Otázka éteru a Michelsonův-Morleyův experiment. Výchozí principy speciální teorie relativity, Lorentzova transformace. Minkowského prostoročas, světelný kužel. Relativistická pohybová rovnice, ekvivalence hmotnosti a energie. Maxwellovy rovnice ve čtyřrozměrném tvaru

Státní závěrečná zkouška

Otázka éteru a Michelsonův-Morleyův experiment

V druhé polovině 19. století se fyzika potýkala se zajímavým problémem. V klasické Newtonovské mechanice, která velice dobře fungovala, se používala Galileova transformace daná jednoduchými vzorečky

$ t'=t \ $

$ \mathbf{x}'=\mathbf{x}-\mathbf{v}t $

a platilo v ní sčítání rychlostí. Na druhé straně byla Maxwellova teorie elektromagnetismu, která byla také s velkou přesností prověřená. Z řešení Maxwellových rovnic ale vycházelo, že rychlost světla je konstantní. Ale konstantní vůči čemu?

Jako řešení tohoto problému byl navržen tzv. éter, což byl jakýsi absolutní prostor, vůči němuž se světlo pohybovalo rychlostí světla.

Přirozeně vyvstala otázka, jak rychle se pohybujeme vůči éteru. Nejjednodušším způsobem jak to změřit se zdá změřit rychost světla v jednom směru a pak v opačném. Časy za které svělo uletí dráhu délky $ L\ $ jsou:

$ t_1=\frac{L}{c-v}\quad \mbox{a}\quad t_2=\frac{L}{c+v} $

a jejich rozdíl je přibližně

$ t_1-t_2\dot= \frac{2L}{c}\frac{v}{c} $

Tento experiment je prvního řádu ve $ \frac{v}{c} $, nicméně v době, kdy byla měření prováděna, nebylo možné synchronizovat hodiny dostatečně přesně, aby bylo možné získat nějaké výsledky. Postupně se ukázalo, že není možné realizovat ani žádný další experiment 1. řádu s dostatečnou přesností.

Pak v roce 1881 přišli pánové Michelson a Morley s jiným experimentem. Jejich experiment je zobrazen na obrázku. Celá aparatura se pohybuje ve směru $ L_1\ $ rychlostí $ v\ $. Světlo ze zdroje dopadá na polopropustné zrcátko $ Z\ $ a rozdělí se na dva svazky, které se odrazí od zrcadel $ Z_1\ $ a $ Z_2\ $, zase se na zrcátku spojí a na stínítku vytvoří interferenční obrazec. Za předpokladu, že pro světlo platí skládání rychlostí, se dá jednoduše vypočítat, že dráhu $ L_1\ $ světlo urazí za $ t_1=\frac{2L_1}{c}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} $, zatímco dráhu $ L_2\ $ za $ t_2=\frac{2L_2}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $. Rozdíl mezi těmito dvěma časy, který se projeví v interferenčních proužcích je:

$ \Delta t =t_2-t_1=\frac{2}{c}\left(\frac{L_2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{L_1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right) $

Pokud se celá aparatura pootočí o 90°, tak je rozdíl časů:

$ \Delta \bar{t} =\bar{t}_2-\bar{t}_1=\frac{2}{c}\left(\frac{L_2}{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{L_1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) $

Rozdíl mezi těmito dvěma hodnotami je (v přiblížení Taylorova rozvoje):

$ \Delta\bar{t}-\Delta t\dot=\frac{L_1+L_2}{c}\frac{v^2}{c^2} $

Experiment je tedy sice až druhého řádu v mocnině $ \frac{v}{c} $, ale s tehdejší technikou měli být Michelson a Morley schopni změřit rychlost vůči éteru s dostatečnou přesností na to, aby byla vidět už např. rychlost pohybu Země okolo Slunce. Nicméně ať měřili, jak měřili, tak Země zůstávala zatvrzele vůči éteru nehybná a světlo se tedy pohybovalo po obou drahách s konstantní rychlostí.

Postupně bylo navrženo několik teorií ve smyslu, že látka nějak strhává éter s sebou, ale všechny byly nakonec vyvráceny.

Jako vysvětlení tohoto experimentu navrhl Lorentz (a nezávisle na něm i Fitzgeral a Larmold) kontrakční hypotézu - hypotézu, že se předměty zkracují ve směru pohybu oproti klidové délce poměrem $ L=L^{klid}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} $. Tím se vzorec pro rozdíl časů průchodu paprsků aparaturou zlepšil na:

$ \Delta t=\frac{2}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left(L_2^{klid}-L_1^{klid}\right) $

Nakonec Lorentz ještě přidal dilatační hypotézu, podle které je změřený čas $ \Delta t_0\ $ roven:

$ \Delta t_{0}=\Delta t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{2}{c} \left( L_2^{klid}-L_1^{klid} \right) $

Tím se odstranila závislost na rychlosti $ v\ $ a existence éteru se stala de facto nezměřitelná. Lorentz a Poincaré, který rozvinul Lorentzovu teorii, tak dospěli k Lorentzově transformaci, vůči níž jsou invariantní Maxwellovy rovnice, ale vše brali jen jako matematický trik, díky kterému vše náhodou vycházelo. Skutečným tvůrcem speciální teorie relativity se tedy stal Albert Einstein, který opustil koncept éteru, vzal konstantní rychlost světla jako základní přírodní princip a Lorentzovu transformaci z něj odvodil.

Výchozí principy speciální teorie relativity, Lorentzova transformace

Výchozí principy

Speciální relativita má tři výchozí principy:

• Newtonův zákon (existence inerciálního systému): Existuje kartézský vztažný systém (který se nazývá inerciální systém), vůči němuž se každý volný hmotný bod pohybuje rovnoměrně přímočaře.
• Princip speciální relativity: Všechny inerciální systémy jsou rovnocenné.
• Princip konstantní rychlosti světla: Rychlost světla je konstantní ve všech inerciálních soustavách, nezávisle na rychlosti zdroje.

První princip je více méně jen přeformulovaný Newtonův zákon, ale klade větší důraz na existenci inerciální soustavy.

Druhý princip říká, že fyzikální zákony musí mít ve všech inerciálních soustavách stejný tvar, a tedy že není možné provést žádný fyzikální experiment, kterým by se dal zjistit absolutní pohyb soustavy, protože ani žádný absolutní pohyb neexistuje. Tento princip je také v souladu s klasickou mechnikou, ale tam se nikdo rovnoprávností soustav příliš nezabývá.

Třetí princip je jediný, který se liší od klasické mechaniky, ale jeho důsledky jsou mnohem závažnější, než by se mohlo zdát, protože z něj vlastně vyplývá celá speciální relativita.

Odvození Lorentzovy transformace

Z výchozích principů je nyní možné odvodit transformační vztahy mezi souřadnými soustavami, které se nazývají Lorentzova transformace. Její důležitou vlastností je, že inverzní (zpětná) transformace musí mít přesně stejný tvar jako dopředná s tím, že $ v\ $ se nahradí za $ \ -v $. Vzhledem k tomu, že použití dopředné a zpětné transformace můsí být identita nezávisle na místě a čase provedení, transformace musí být lineární s koeficienty závislými jen na rychlosti $ \ v $. Nadále budu navíc uvažovat jen pohyb ve směru osy $ \ x $, protože ho vždy jde dosáhnout vhodným otočením souřadnic.

Dále se dá ukázat, že transformace souřadnice $ y\ $ závisí jen na velikosti rychlosti, protože pohyb ve směru $ x\ $ a $ -x\ $ je z hlediska osy $ y\ $ jen otočením, vůči němuž musí být invariantní. Nyní se ale s využitím dopředné a zpětné transformace dá ukázat, že:

$ y'=y\ . $

To samé platí pro osu $ \ z $:

$ z'=z\ . $

Vzhledem k invarianci souřadnic vůči posunu ve směru $ y\ $ a $ z\ $ nemůže transformace času a $ x\ $ záviset na těchto proměnných, a tedy

$ x'=Ax+Bt\ , $

$ t'=Cx+Dt\ . $

Pro počátek čárkované soustavy platí $ x'=0\ $ v čárkované soustavě a $ x=vt\ $ v nečárkované soustavě. Po dosazení do vztahu pro $ x'\ $ dostaneme $ B=-Av\ $ a tedy platí:

$ x'=A(x-vt)\ . $

Platit musí i inverzní transformace z čárkované do nečárkované soustavy $ x=A(x'+vt)\ . $

Nyní se využije konstantní rychlost světla: pro záblesk vyslaný z bodu $ x=0\ $ v čase $ t=0\ $ musí platit $ x=ct\ $ a $ \ x'=ct' $. Po dosazení do přímého a inverzního transformačního vztahu vychází

$ ct' = A(ct - vt) , ct = A(ct' + vt') \Rightarrow c^2tt'=A^2(c^2 + v^2)tt' \Rightarrow A^2 = \frac{c^2}{c^2 + v^2}. $

Konstantu $ A\ $ označíme jako $ \ \gamma $

$ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. $

Když nyní sečteme transformaci pro $ x\ $ a transformaci pro $ x'\ $ přenásobenou $ \gamma\ $, tak znovu po troše algebry dostaneme transformaci pro $ t\ $. Celá Lorentzova transformace má nakonec tvar:

$ x'=\gamma(x-vt), $

$ y'=y, $

$ z'=z, $

$ t'=\gamma(t-\frac{v}{c^2}x). $

Můžeme zavést $ \beta = \frac{v}{c} $ a brát jako čtvrtou souřadnici $ct$ místo $t$. Dostáváme pak možná přehlednější vztahy

$ x'=\gamma(x-\beta ct), $

$ y'=y, $

$ z'=z, $

$ ct'=\gamma(ct-\beta x). $

Této Lorentzově transformaci se říká speciální, protože je jen ve směru osy $ \ x $. Zájemci o obecnou transformaci, která je výrazně složitější, se mohou podívat do některé učebnice speciální relativity. Způsob odvození, který je zde použit, vychází ze Semerákovy přednášky, v různých učebnicích si mohou zájemci najít několik dalších.

Důsledky Lorentzovy transformace

Dilatace času

Když porovnáme čas, který je spojen se stojícím pozorovatelem, a čas spojený s pozorovatelem (v čárkované soustavě), který se vůči němu pohybuje nenulovou rychlostí, tak z Lorentzovy transformace dostaneme:

$ \Delta t=\gamma\left(\Delta t'+\frac{v}{c^2}\Delta x'\right)\ $

$ \Delta x'\ $ je ale rovno nule, protože čárkovaný pozorovatel se sám vůči sobě nehýbe. Čas spojený s pohybující se soustavou se nazývá vlastní čas a obvykle se značí $ \tau\ $. Jeho vztah vůči času, který je měřený vnějším pozorovatelem je, jak je vidět předchozí rovnice:

$ \Delta t=\gamma\Delta\tau\ $

Vzhledem k tomu, že $ \gamma\geq 1 $, z této rovnice vyplývá, že pro pohybující se předmět plyne čas pomaleji.

Kontrakce délek

Pokud naopak provedeme porovnání délky předmětu $ \ l $, provedené ve vnější soustavě a v soustavě s ním spojené (čárkované), zjistíme, že:

$ l'=\gamma(l-v\Delta t)\ $

$ \Delta t\ $ můžeme položit nule, protože vnější pozorovatel musí provést měření ve stejném okamžiku. Délka měřená v soustavě spojené s předmětem se nazývá klidová, značí se $ l_0\ $ a je rovna:

$ l_0=\gamma l\ $

Odsud vyplývá, že pohybující se předmět se zkracuje ve směru pohybu.

Relativita současnosti a soumístnosti

Když si napíšeme vzorec pro transformaci prostorového intervalu

$ \Delta x'=\gamma\left(\Delta x-v\Delta t\right)\ $

zjistíme, že události, které se pro jednoho pozorovatele udály na jednom místě ($ \Delta x=0\ $), se pro druhého pozorovatele udály jinde, pokud $ \Delta t\neq 0 $. Podobný vztah platí i pro čas. Ze vzorce

$ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v}{c^2}\Delta x\right)\ $

je vidět, že události současné pro jednoho pozorovatele, nejsou současné pro jiného, který se vůči němu pohybuje.

Skládání rychlostí

Ve speciální relativitě se rychlosti neskládají pouhým sečtením, ale pro rychlost předmětu v soustavě $ \ II $, která se vůči soustavě $ \ I $ pohybuje rychlostí $ \ v $, platí:

$ v_{II}^x=\frac{v_I^x-v}{1-\frac{vv_I^x}{c^2}} $

$ v_{II}^y=\frac{v_I^y}{\gamma\left(1-\frac{vv_I^x}{c^2}\right)} $

Zájemci si mohou najít důkaz v zápiscích ze Semerákovy přednášky nebo v některé učebnici.

Minkowského prostoročas, světelný kužel

Nalezené provázání času a prostoru má hlubší formu, než jen formální transformační vztahy. Ve skutečnosti už čas a prostor nelze zcela oddělit, protože existuje jediný objekt zvaný prostoročas. Jeho konkrétní forma, která je používaná ve speciální relativitě, se nazývá Minkowskiho a je kartézským součenem euklidovské roviny $ \mathbb{E}^3 $ a času reprezentovaného $ \mathbb{R} $. Jeho prvky již nejsou body v prostoru, ale události.

Formálně jsou události popsané vektory se čtyřmi složkami, z nichž první popisuje čas, kdy k události došlo, ale místo $ t\ $ se používá $ ct\ $, aby měla souřadnice správný rozměr, a tři zbývající složky popisují, kde k události došlo. V této symbolice má Lorentzova transformace tvar:

$ \begin{pmatrix} ct' \\x' \\y' \\z' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\beta&0&0\\ -\gamma\beta&\gamma &0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct\\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} $

Matematická vložka

Když jsou vektorem popsány souřadnice v prostoru, je vhodné zapsat v podobném tvaru všechny fyzikální veličiny. Nevystačíme si však jen s vektory, ale je obecně nutné použít tenzory různých řádů. Tenzor je zcela obecně definován jako veličina, která se transformuje jako tenzor. A to ve speciální relativitě znamená pomocí Lorentzovy transformace. Když transformační matici $ \Lambda^{\mu}_{\ \nu} $ a její inverzi $ \Lambda_{\mu}^{\ \nu} $ definujeme vztahy:

$ \Lambda^{\mu}_{\ \nu} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\beta&0&0\\ -\gamma\beta&\gamma &0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \quad \Lambda_{\mu}^{\ \nu}=\left(\Lambda^{\mu}_{\ \nu}\right)^{-1}= \begin{pmatrix} \gamma & +\gamma\beta&0&0\\ +\gamma\beta&\gamma &0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} $

tak musejí jenotlivé tenzory splňovat:

• Skaláry: $ \Phi'(x')=\Phi(x)\ $
• Kontravariantní vektory: $ A'^{\mu}(x')=\Lambda^{\mu}_{\ \nu}A^{\nu}(x) $
• Kovariantní vektory (formy):$ \alpha'_{\mu}(x')=\Lambda_{\mu}^{\ \nu}\alpha_{\nu}(x) $
• Obecné tenzory: $ {T'}^{\mu\dots}_{\rho\dots}(x')=\Lambda^{\mu}_{\ \nu}\dots\Lambda_{\rho}^{\ \sigma}\dots T_{\sigma\dots}^{\nu\dots}(x) $

Již několikrát uváděná Lorentzova transformace má tedy tvar:

$ x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\ \nu}x^{\nu} $

K tomu, aby bylo možné s těmito objekty pracovat, je nutné umět zdvihat a spouštět indexy a také zadefinovat skalární součin. K tomu se používá Minkowského metrika $ \ \eta_{\mu\nu} $:

$ \eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} -1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix} $

Metrika s horními indexy se definuje jako inverzní matice, tj. platí $ \eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\rho}=\delta_{\mu}^{\rho} $, a má přesně stejné složky. Zdvihání a spouštění indexů pak vypadá např. takto:

$ A^{\mu}=\eta^{\mu\nu}A_{\nu}\ $ nebo $ V_{\mu}=\eta_{\mu\nu}V^{\nu}\ $

Skalární součin je pak dán libovolným z následujících výrazů:

$ \mathbf{A.B}=A_{\mu}\eta^{\mu\nu}B_{\nu}=A^{\mu}\eta_{\mu\nu}B^{\nu}=A_{\mu}B^{\nu}=A^{\mu}B_{\nu} $

Minkowského prostoročas

Nyní když máme určitou matematickou výbavu se můžeme pustit do analýzy Minkowského prostoročasu. Nejprve si zadefinujeme prostoročasový interval:

$ \Delta s^2=\eta_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=-c^2\Delta t^2+\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2\ $

Když nyní zkusíte za $ \Delta x^{\mu}\ $ dosadit $ \Delta x'^{\mu}\ $ podle Lorentzovy transformace, tak zjistíte, že prostoročasový interval zůstal stejný, tj. $ \Delta s^2=\Delta s'^2\ $. Prostoročasový interval je tedy invariant. Protože skalární součin definovaný pomocí Minkowského metriky je indefinitní, tak prostoročasový interval může být kladný i záporný, a nazývá se:

• časupodobný, pokud $ \Delta s^2<0\ $
• nulový, pokud $ \Delta s^2=0\ $
• prostorupodobný, pokud $ \Delta s^2>0\ $

Toto rozdělení na časupodobné, prostorupodobné a nulové lze použít i pro vektory a křivky. U vektorů spočítáme "normu" $ \eta_{\mu\nu}V^{\mu}V^{\nu}\ $ a podle toho, zda je tato norma větší či menší než nula určíme času- či prostorupodobnost. U křivek určíme normu tečného vektoru a rozdělení provedeme podle ní. Nicméně u křivek se může stát, že část bude prostorupodobná, část nulová a část časupodobná.

Velikost prostočasového intervalu pro reálné pozorovatele je $ \Delta s^2=-c^2\Delta\tau^2\ $, protože v soustavě spojené s pozorovatelem se pozorovatel pohybuje jen ve směru času, a tento čas je zároveň i jeho vlastním časem.

Prostoročas se tedy rozdělí na dvě části podle toho, zda je poloha bodu vůči počátku prostorupodobná či časupodobná, přičemž hranici mezi nimi je tvořena body nulovými. Tato nulová hranice tvoří kužel, kterému se říká světelný, a který je obecné popsán rovnicí $ ct=\sqrt{x^2+y^2+z^2} $. V případě, že pracujeme jen v rovině $ t\ x $, je světelný kužel tvořen dvěma přímkami, které procházejí počátkem a svírají s osami úhel 45°. Na obrázku je světelný kužel nakreslen čárkovaně. Časupodobné body leží uvnitř kužele (tedy okolo osy $ ct\ $) a prostorupodobné body vně kužele (tedy poblíž osy $ x\ $).

Při provedení Lorentzovy transformace zůstane struktura časoprostoru stejná, ale osy se sklopí (viz obrázek) směrem k jedné části světelného kužele (jejich rovnice v původních souřadnicích jsou $ ct=\frac{c}{v}x $ a $ ct=\beta x $. Samotný světelný kužel zůstává na místě, protože rychlost světla je konstantní.

Upozornil bych ještě, že křivky $ \Delta s^2=konst\ $ nejsou přímky, ale rovnoosé hyperboly dané rovnicí $ -c^2t^2+x^2=konst\ $, ilustrace viz obrázek.

Pozorovatel nebo jakýkoliv reálný objekt se v časoprostorovém diagramu musí pohybovat po křivce, která je v každém bodě časupodobná (nebo nulová pro fotony), a samozřejmě se pohybuje ve směru času. Pokud se podíváme na pozorovatele v jednom časovém okamžiku, tak věci, které může nějak ovlivnit, se nacházejí uvnitř budoucího světelného kužele, a proto se této oblasti říká absolutní budoucnost. Naopak, události, které mohly ovlivnit jeho, se nacházejí uvnitř minulého světelného kužele, této oblasti se říká absolutní minulost. Oblast mimo světelný kužel se nazává relativní současnost, protože pro každý bod existuje inerciální soustava, ve které má daný bod stejný čas jako pozorovatel.

Relativistická pohybová rovnice, ekvivalence hmotnosti a energie

Čtyřrychlost a čtyřhybnost

Nyní zaměřme svou pozornost na pohyb v prostoročase. Běžná rychlost není vhodná pro popis pohybu, protože má jen tři složky a není tenzorová. Proto se zavádí 4rychlost výrazem:

$ u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau} $

Takto definovaná rychlost je tenzorový objekt, protože $ dx^{\mu}\ $ se transformuje Lozentzovou transformací a $ d\tau\ $ je invariant. Vyjádření 4rychlosti pomocí běžné rychlosti má tvar:

$ u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{dt}\frac{dt}{d\tau}=\gamma(c,\mathbf{v}) $

protože $ \frac{dt}{d\tau}=\gamma $ (viz dilatace času). Velikost 4rychlosti je vždy:

$ \eta_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}=\frac{\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}{d\tau^2}=\frac{ds^2}{d\tau^2}=-c^2 $

Ze 4rychlosti zadefinujeme 4hybnost výrazem:

$ p^{\mu}=m_0u^{\mu}=m_0\gamma(c,\mathbf{v})=(mc,\mathbf{p)} $

$ m_0\ $ je klidová hmotnost, tj. hmotnost měřená v soustavě spojené s předmětem, a dá se ukázat, že je invariantní vůči Lorentzově transformaci. Neklidová hmotnost $ m=\gamma m_0\ $ se ovšem při pohybu mění, což naznačuje, že kinetická energie přispívá do hmotnosti. Velikost 4hybnosti je:

$ \eta_{\mu\nu}p^{\mu}p^{\nu}=-m_0^2c^2 $

Klidová hmotnost se při fyzikálních dějích nemusí zachovávat. Jednoduchým příkladem je nepružná srážka dvou stejných těles, která proti sobě letí stejnou rychlostí. Při srážce se tělesa zastaví a spojí se v jeden objekt, jehož hmotnost je:

$ M=\gamma_1m_0^{(1)}+\gamma_2m_0^{(2)}=2\gamma m_0\geq 2m_0 $

A protože zbylé těleso se nehýbe, je jeho hmotnost současně klidovou hmotností, která se ovšem oproti součtu klidových hmotností obou původních předmětů zvětšila.

Pohybová rovnice

Relativistická pohybová rovnice má tvar:

$ \frac{dp^{\mu}}{d\tau}=F^{\mu} $

kde $ F^{\mu}\ $ je čtyřsíla. Pokud se podíváme na časovou složku rovnice (tj. $ \mu=0\ $), tak zjistíme, že $ F^0=\frac{d(cm)}{d\tau}=\gamma c\frac{dm_0}{dt} $. Pro prostorové složky ($ \mu=1,2,3\ $) platí:

$ \frac{d\mathbf{p}}{d\tau}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}\frac{dt}{d\tau}=\gamma\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\gamma \mathbf{f} $

kde $ \mathbf{f} $ klasická síla. Při rozpisu $ \frac{d\mathbf{p}}{dt} $ dostaneme:

$ \frac{d\mathbf{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(m_0\gamma\mathbf{v})=\frac{dm_0}{dt}\gamma\mathbf{v}+m_0\frac{d\gamma}{dt}\mathbf{v}+m_0\gamma\mathbf{a}=\frac{dm_0}{dt}\gamma\mathbf{v}+m\gamma^2\frac{\mathbf{v.a}}{c^2}\mathbf{v}+m\mathbf{a}=\mathbf{f} $

Všimněte si, že ze třech členů je klasický jen ten poslední.Pokud promítneme tuto rovnici na směr kolmý k rychlosti, tak dostaneme:

$ m\mathbf{a}_{\perp}=\mathbf{f}_{\perp} $

Pokud naopak provedeme průmět na na směr rychlosti, tak po troše úprav získáme:

$ m\gamma^2\mathbf{a}_{||}=\mathbf{f}_{||} $

Při urychování ve směru rychlosti tedy klade těleso větší odpor, než ve směru kolmém. To je způsobeno tím, že je nutné dodat energii na zvýšení hmotnosti.

Ekvivalence hmotnosti a energie

Předpokládejme nyní, že práce vykonaná při urychlení je dána klasickým výrazem $ dW=\mathbf{f}.d\mathbf{r}\ $ a že veškerá dodané energie přejde na kinetickou. Přírůstek kinetické energie je tedy dán výrazem:

$ dT=\mathbf{f}.d\mathbf{r}=\mathbf{f}_{||}.\mathbf{v}dt=m\gamma^2\frac{dv}{dt}v dt=m_0\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}^3}dv=c^2m_0d\gamma=d(mc^2) $

Když nyní tento výraz zintegrujeme, tak dostaneme:

$ T=mc^2-m_0c^2\ $

Výraz $ m_0c^2\ $ můžeme interpretovat jako klidovou energii tělesa a $ mc^2\ $ jako celkovou energii, čímž dospíváme k slavnému Einsteinovu vzorci:

$ E=mc^2\ $

Když nyní máme vztah mezi energií a hmotností, tak můžeme interpretovat nultou složku 4hybnosti $ cm\ $ jako $ \frac{E}{c} $ a můžeme odvodit vztah mezi energií a hybností. Nejdříve spočítáme velikost 4hybnosti:

$ \eta_{\mu\nu}p^{\mu}p^{\nu}=-m_0^2c^2=-\frac{E^2}{c^2}+p^2 $

a odtud je vidět, že:

$ E^2=m_0^2c^4+p^2c^2\ $

$ E=c\sqrt{m_0^2c^2+p^2} $

V limitě malých rychlostí platí:

$ E\approx m_0c^2\left(1+\frac{p^2}{2m_0^2c^2}\right)=m_0c^2+\frac{p^2}{2m_0} $

čímž dostáváme klasický výraz pro kinetickou energii.

Pro nehmotné částice je $ m_0=0\ $ a proto $ E=cp\ $.

Tenzor energie a hybnosti

Vhodným způsobem, jak popsat hmotu je tenzor energie a hybnosti $ T^{\mu\nu}\ $. Pokud máme uzavřený systém, tak potom se dají pohybové rovnice zapsat ve tvaru:

$ T^{\mu\nu}_{\ \ ,\nu}=0 $

Pro nejjednodušší systém, který lze vytvořit, - hmotný prach - má tvar:

$ T^{\mu\nu}=\rho_{00} u^{\mu}u^{\nu}\ $

kde $ \rho_{00}\ $ je klidová hustota klidové hmotnosti. Jeho složky jsou rovny:

$ T^{00}= \rho_{00} \gamma^2 c^2=\rho c^2\ $

což je hustota energie

$ T^{0i}=\rho_{00} c \gamma^2 v^i = \rho c v^i\ $

což je až na $ c\ $ hustota hybnosti a

$ T^{ij}=\rho_{00}\gamma^2v^iv^j=\rho v^iv^j\ $

což je tok i-té složky hustoty hybnosti je směru j-té souřadnice.

Z pohybových rovnic dostaneme

$ T^{\mu\nu}_{\ \ ,\nu}=(\rho_{00}u^{\nu})_{,\nu}u^{\mu}+\rho_{00}a^{\mu}=0 $

$ (\rho_{00}u^{\nu})_{,\nu}=0\ $ je rovnice kontinuity a $ a^{\mu}=0\ $ nám říká, že volná hmota se pohybuje rovnoměrně přímočaře.

Větší význam má tenzor energie a hybnosti v OTR, kde je možné zahrnou gravitaci.

Maxwellovy rovnice ve čtyřrozměrném tvaru

Čtyřproud a čtyřpotenciál

Maxwellovy rovnice v tradičním tvaru tu rozebírat nebudu, to si přečtěte v elektrodynamice, a pustím rovnou do relativistických veličin.

Jako první definujeme 4proud (respektive jeho hustotu) jako:

$ j^{\mu}=\rho_0 u^{\mu}=\frac{\rho}{\gamma}u^{\mu}=(c\rho,\mathbf{j}) $

kde $ \rho\ $ a $ \mathbf{j} $ jsou hustota náboje a proudu a $ \rho_0\ $ klidová hustota náboje. Rovnice kontinuity pak má elegentní tvar:

$ j^{\mu}_{,\ \mu}=0=\frac{d\rho}{dt}+\operatorname{div}\mathbf{j} $

Místo skalárního potenciálu $ \varphi\ $ a vektorového potenciálu $ \mathbf{A}\ $ se používá 4potenciál $ A^{\mu}\ $:

$ A^{\mu}=(\frac{\varphi}{c},\mathbf{A}) $

Lorenzova kalibrace $ \frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{A}=0 $ lze zapsat ve tvaru:

$ A^{\mu}_{\ ,\mu}=0 $

Když definujeme Dalambertův operátor vzorcem:

$ \Box=\eta^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\Delta $

pak lze zapsat vlnové rovnice pro potenciály takto:

$ \Box A^{\mu}=-\mu j^{\mu} $

Rozpisem se můžete přesvědčit, že jsou stejné jako ty, které dostaneme z Maxwellových rovnic.

Tenzor elektromagnetického pole

Elektrické a magnetické pole se ve speciální relativitě reprezentuje tenzorem elektromagnetického pole, který je definovaný:

$ F_{\mu\nu}=A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu}\ $

Tenzor je antisymetrický a rozpisem složek se můžete přesvědčit, že platí:

$ E_i=-cF_{0i}\ $

$ B_i=\frac{1}{2}\epsilon_i^{\,\, jk}F_{jk} $

Tenzor má tedy celkově tvar:

$ F_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0&-\frac{E_1}{c}&-\frac{E_2}{c}&-\frac{E_3}{c}\\ \frac{E_1}{c}&0&B_3&-B_2\\ \frac{E_2}{c}&-B_3&0&B_1\\ \frac{E_3}{c}&B_2&-B_1&0 \end{pmatrix} $

U kontravariantního tenzoru se jen prohodí znaménko u $ \mathbf{E} $:

$ F^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0&\frac{E_1}{c}&\frac{E_2}{c}&\frac{E_3}{c}\\ -\frac{E_1}{c}&0&B_3&-B_2\\ -\frac{E_2}{c}&-B_3&0&B_1\\ -\frac{E_3}{c}&B_2&-B_1&0 \end{pmatrix} $

Ještě bych poznamenal, že stopa tenzoru je nulová a že tenzor vysčítaný sám se sebou je důležitý invariant:

$ F^{\mu}_{\ \mu}=0 $

$ F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2\mathbf{B}^2-2\frac{\mathbf{E}^2}{c^2} $

Maxwellovy rovnice

Maxwellovy rovnice mají tvar:

$ F^{\mu\nu}_{\ \ ,\nu}=\mu j^{\mu} $

$ F_{[\mu\nu,\rho]cykl}=F_{\mu\nu,\rho}+F_{\nu\rho,\mu}+F_{\rho\mu,\nu}=0\ $

První z rovnic je ekvivalentní:

$ \operatorname{div}\mathbf{D}=\rho \quad \mbox{a} $

$ \operatorname{rot}\mathbf{H}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{j} $

a druhá z nich:

$ \operatorname{div}\mathbf{B}=0\quad\mbox{a} $

$ \operatorname{rot}\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} $

Zájemci si mohou dokázat rozpisem do složek.

Lorentzova 4síla působící na nabité částice je:

$ F^{\mu}=qF^{\mu\nu}u_{\nu}\ $

Její složky jsou:

$ F^i=q\gamma(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}) $

$ F^0=\frac{\gamma q}{c}\mathbf{E.v} $

a reprezentují tedy klasickou sílu a výkon. Relativistický výkon daný:

$ F^{\mu}u_{\mu}=qF^{\mu\nu}u_{\mu}u_{\nu}=0\ $

je roven nule a tedy Lozentzova 4síla nemění klidovou hmotnost tělesa

Tenzor energie a hybnosti

Vakuové Maxwellovy rovnice také velice hezky vyplývají z tenzoru energie a hybnosti, který je pro elektromagnetické pole definovaný:

$ T^{\mu\nu}=\frac{1}{\mu}\left(F^{\mu}_{\,\, \sigma}F^{\nu\sigma}-\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F^{\rho\sigma}F_{\rho\sigma}\right) $

Jeho složky jsou rovny:

$ T^{00}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{E.D}+\mathbf{B.H}\right)=w $

$ T^{0j}=\frac{1}{c}\mathbf{E}\times\mathbf{H}=\frac{1}{c}\mathbf{S} $

$ T^{ij}=\delta^{ij}w-E^iD^j-H^iB^j\ $

a tedy postopně reprezentují hustotu energie, Poyntingův vektor toku energie a Maxwellův tenzor napětí. Odvození tvaru tenzoru je velmi hezké v obecné relativitě, ale to zde nemohu rozebírat, takže se smiřte s tím, že je udělán tak aby jeho složky odpovídamy výše uvedeným veličinám. Pohybové rovnice jsou rovny:

$ \mu T^{\mu\nu}_{\ \ ,\nu}=0=F^{\mu}_{\ \sigma}F^{\nu\sigma}_{\ \ ,\nu}+F^{\mu\sigma}_{\ \ ,\nu}F^{\nu}_{\ \sigma}-\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}F^{\rho\sigma}_{\ \ ,\nu}F_{\rho\sigma} =F^{\mu}_{\ \sigma}F^{\nu\sigma}_{\ \ ,\nu}-\frac{1}{2} F^{\rho\sigma,\mu} F_{\rho\sigma}+\frac{1}{2}\left( F^{\mu\sigma,\rho} F_{\rho\sigma}+F^{\mu\rho,\sigma} F_{\rho\sigma}\right)+\frac{1}{2}\left( F^{\mu\sigma,\rho} F_{\rho\sigma}-F^{\mu\rho,\sigma} F_{\rho\sigma}\right) =F^{\mu}_{\ \sigma}F^{\nu\sigma}_{\ \ ,\nu}-\frac{1}{2}\left( F^{\rho\sigma,\mu}+F^{\mu\rho,\sigma}+F^{\sigma\mu,\rho}\right)F_{\rho\sigma}=0 $

Položením obou částí výrazu rovno nule dostaneme vakuové Maxwellovy rovnice rovnice. Za přítomnosti nábojů a proudu je vše komplikovanější a nebudu to zde rozebítat.

Státní závěrečná zkouška