Multipólový rozvoj pro gravitační potenciál

Gravitační potenciál je harmonickou funkcí souřadnic, splňuje tedy Laplaceovu rovnici

$ \Delta V(P) = 0 $

to ve sférických součadnicích řeší dvě nezávislá partikulární řešení

$ \rho^j Y_{lm}(\theta,\Lambda) $ a $ \rho^{-j-1} Y_{lm}(\theta,\Lambda) $

pro sférickou harmonickou fci Y(lm), avšak první řešení má sungularitu v nekonečnu, tudíž nezajímavé. Obecné řešení Laplace je

$ V = \frac{GM}{\rho}\sum_{j=0}^\infty \left( \frac{a_0}{\rho}\right)^j\sum_{m=-j}^j A_{lm} Y_{lm} $

A(jm) jsou Stokesovy parametry. Sférické harmoniky souvisejí s přidruženými Legendrovými polynomy a jsou plně normovány, řešení gravitačního potenciálu se dá zjednodušit na $ V = \frac{GM}{\rho}\left[1+\sum_{j=0}^\infty \sum_{m=0}^j \left( \frac{a_0}{\rho}\right)^j (J_j^{(m)} cos (m\Lambda) + S_j^{(m)} sin (m\Lambda))\right]P_j^{(m)}cos \theta $

podle skript p. Novotného

$ U(r,\theta,\lambda) = \frac{G}{r}\int_V \rho\left(\frac{r'}{r}\right)^n P_n(cos\gamma)dV + 1/2\omega^2r^2sin^2\theta $

$ U(r,\theta,\lambda) = \sum_{n=0}^\infty\frac{Y_n(\theta,\lambda)}{r^{n+1}} + 1/2\omega^2r^2sin^2\theta $

Pokud se vyjádří hlavní momenty tenzoru setrvačnosti I_1,I_2,I_3, pak se dá rovnice napsat jako

$ U(r,\theta,\lambda) = \frac{GM}{r}+\frac{G}{2r^3}(C-\frac{A+B}{2})(1-3sin^2\theta)+\frac{3G}{4r^3}(B-A)sin^2\theta cos 2\lambda+1/2\omega^2r^2 sin^2\theta+T(r,\theta,\lambda) $

kde T je distribuční potenciál (zbývající suma harmoni dělených r)

Pokud A = B, pak se dá napsat

$ U(r,\theta,\lambda) = \frac{GM}{r}+\frac{G}{2r^3}(C-A)(1-3cos^2\theta)+1/2\omega^2r^2 sin^2\theta+T(r,\theta,\lambda) $

Pokud se harmoniky přepočítají na přidružené Legendrovy polynomy, viz

$ Y_n(\theta, \lambda) = \sum_{n=0}^n[A_n^mcos m\lambda + B_n^m sin m\lambda]P_n^m(cos\theta) $

pak dostaneme

$ U(r,\theta,\lambda) = \frac{GM}{r}{1+\sum_{n=2}^\infty \left( \frac{a}{r}\right)^n \sum_{m=0}^n[J_n^mcos(m\lambda)+S_n^m sin(m\lambda)]P_n^m(cos\theta) } 1/2\omega^2r^2 sin^2\theta $