Protiseminár - Lieove algebry a exponenciála

♦♦♦

Lieove algebry a exponenciála

Ako sa pracuje s maticami rotácií a čo to je generátor rotácie?

Ako to súvisí s momentom hybnosti? Chcete vedieť, ako exponenciálou posunúť alebo otočiť vektor?

Čo je to exponenciála komplexného čísla?

A ako komplexifikácia $ \mathbf R^3 $ zafixuje bázové vektory a rozdelí priestor na tri časti?

Alebo by ste chceli vedieť poriadne vyriešiť diferenciálnu rovnicu bez hádania riešenia?

A čo je to Campbell-Baker-Hausdorfova veta?

Príďte sa pozrieť!

aká silná je matematika v rukách fyzika:)

Kedy a kde?

V pondelok 5.1.2009 o 18:00 v T2

Čo so sebou?

Hrnček na čaj, tentoraz ten čaj určite bude, beriem konvicu:)

♦♦♦

Plán seminára:

Grupa -> algebra

• 2D rotácie, vlastnosti grupy, ortogonálne matice ako grupa, infinitezimálna rotácia.

• 3D rotácie, infinitezimálne rotácie, generátory, skladanie.

• Komutátor rotácií: $ \mathbf {R}_x \mathbf{R}_y \mathbf {R}_x^{-1}\mathbf{R}_y^{-1} $ vs. $ [\mathbf A_x, \mathbf A_y] \approx \mathbf A_z $

Algebra -> grupa

• Diferenciálna rovnica

$ \frac{df}{dx} = kf $,

fyzikálne príklady a jej špeciálny prípad $ \frac{df}{dx} = f $. Vytvorenie exponenciály z Eulerovej metódy.

• Čo je to exponenciála komplexného čísla? Eulerov vzorec.

• Konečné rotácie ako exponenciála generátora, exponenciála operátora. Význam v kvantovej mechanike (generátor posunutia - hybnosť, otočenia - moment hybnosti).

• Campbell-Baker-Hausdorfova veta s jedným komutátorom: ak $ \hat A $ aj $ \hat B $ komutujú s $ [\hat A, \hat B] $, tak $ e^{\hat A+ \hat B} = e^{\hat A} e^{\hat B} e^{-\frac{1}{2}[\hat A,\hat B]} $.

Lineárne reprezentácie

• grupa a jej reprezentácia (reprezentácia grupy lineárnymi operátormi)
• invariantné podpriestory a blokové matice
• rozklad reprezentácie na ireducibilné
• skladanie reprezentácií