Státnice - Informatika - Složitost

Tento souhrn slouží pro přípravu k magisterským státnicím pro obory Teoretická informatika a Diskrétní modely a algoritmy. Detailní informace o předmětu hledej na stránkách Složitost I a Složitost II.

Rozsah látky

Seznam oficiálních státnicových otázek pro studijní obory Teoretická informatika a Diskrétní modely a algoritmy (aktualizováno 2013):

Věty o hierarchii tříd složitosti, konstruovatelné funkce, vztahy mezi časovými a prostorovými mírami a determinismem a nedeterminismem, Savitchova věta. Úplné problémy pro různé třídy (NP, PSPACE, P, #P). Polynomiální hierarchie, pseudopolynomiální algoritmy, silná NP-úplnost, třída #P a #P-úplnost. Aproximační algoritmy a schémata. Metody tvorby algoritmů: dynamické programování, hladový algoritmus na matroidu. Základy pravděpodobnostních algoritmů.

Studijní obory Softwarové systémy a Matematická lingvistika mají okruhy Složitost a Vyčíslitelnost do spojeny do jednoho a rozsah otázek pro složitost se liší.

Zdroje obecně

Většina je pokryta přednáškami Složitost I a II, některá témata je však třeba dohledat jinde (klidně po internetu, na wikipedii, v Majerechovi, v zahraničních skriptech...). Pozor, Čepkovy slajdy jsou více než stručné.

Vřele doporučuji strávit jedno odpoledne v knihovně s knížkou od Arory a Baraka Computational Complexity: A Modern Approach. Velmi názorně pomůže získat dobrou intuici u téměř všech okruhů a rigorózní důkazy se tam člověk venkoncem také dočte.

Poznámky od Peter Černo

Věty o zrychlení a o mezerách

Věta o lineárním zrychlení

see Složitost II#Věta o lineárním zrychlení (asi i wen:Linear speedup theorem)

• DTS s alespoň dvěma páskami se na vstupu délky n dá zrychlit z t kroků na $ n + \lceil n/r \rceil + 6 \lceil t/r \rceil $ ($ r \in \mathbb{N} $)
  • postup: nový stroj stlačí r políček původní pásky na jedno -- nejdřív okopíruje a přejede na začátek ($ n + \lceil n/r \rceil $ kroků), pak simuluje v šesti krocích r kroků původního stroje: nejdřív načte tři svoje políčka (3r políček původního stroje; trvá 4 kroky nového [vlevo,vpravo,vpravo,vlevo]), pak zjistí, jak budou vypadat po r krocích (jen ve vnitřním stavu), a nakonec to zapíše (další max 2 kroky, za r kroků starého se stihnou změnit nejvýše dvě políčka nového stroje)
• Je-li L jazyk přijímaný k-páskovým DTS M (k>=2) a s časovou složitostí $ t(n) \in \omega(n) $. Potom pro každé kladné c existuje k-páskový M' s časovou složitostí c*t(n) přijímající L.
  • Vezmeme r > 12/c, uděláme M' jako výše, doba jeho běhu nad vstupem délky n se dá pro r>2 shora odhadnout výrazem (c/2)*t(n)+(6/r)*t(n) (z $ t(n) \in \omega(n) $), což z r>12/c dává omezení doby běhu c*t(n) pro skoro všechna n. Konečný počet výjimek se ošetří konečným automatem.
• Nechť je L jazyk přijímaný k-páskovým DTS M s časovou složitostí t(n) = c*n. Dále ať k>=2 a c>1. Pak $ \forall \epsilon > 0 $ existuje k-páskový DTS M' s časovou složitostí $ (1+\epsilon)\cdot n $ přijímající L.

If time is money you've made me a wealtiehr woman.

Věty o hierarchii tříd složitosti

see Složitost II#Základní třídy složitosti, wen:Complexity class, [[1]]

Otevřenost časové hierarchie shora

Nechť T je rekurzivní funkce (tj. existuje TS, který ji vyčísluje). Potom existuje rekurzivní jazyk L takový, že $ L \notin DTIME(T(n)) $.

Důkaz přes jazyk $ L = \{ x_i : M_i \mbox{ nepřijímá } x_i \mbox{ v čase } T(|x_i|) \} \ $, (máme očíslované řetězce i Turingovy stroje). Přítomnost v L se dá otestovat pomocí TS co si odsimuluje T(|x|) kroků příslušného stroje, L je tedy rekurzivní.

Pokud by platilo $ L \in DTIME(T(n)) $, tak by existoval TS M, který rozpozná L v čase T(n). Ten stroj má nějaké číslo i. (Tj. $ M=M_i $.). Pak platí jedno z:

1. $ x_i \in L $, tj. stroj M přijme $ x_i $ v čase $ T(|x_i|) $ (protože ho poznává). Zároveň ale z stroj $ M_i $ $ x_i $ v čase $ T(|x_i|) $ nepřijímá (z definice L). Máme spor, protože M a $ M_i $ je ten samý.
2. $ x_i \notin L $, takže ho M (rozpoznávač L) v daném čase nepřijme, ale $ M_i $ (ten z definice L) ho v daném čase přijmout musí, tj. taky spor.

(tj. vyzkoušíme, co řekne $ M_i $ na jemu příslušející řetězec $ x_i $)

Proto $ L \notin DTIME(T(n)) $.

Otevřenost prostorové hierarchie shora

Nechť S je rekurzivní funkce. Potom existuje rekurzivní jazyk L takový, že $ L \notin DSPACE(S(n)) $.

Důkaz je analogický jako u časové hierarchie, vyrobí se jazyk $ L = \{ x_i : M_i \mbox{ nepřijímá } x_i \mbox { v prostoru } S(|x_i|) \} $. Rozdíl je jen v simulaci $ M_i $, který se navíc může na svém omezeném prostoru zacyklit, což se ale dá detekovat, neb tam má omezený počet konfigurací.

Věty o časové a prostorové hierarchii

O prostorové hierarchii

Nechť $ S_1: \mathbb N \to \mathbb N $ a $ S_2: \mathbb N \to \mathbb N $ jsou funkce takové, že $ S_2 \in \omega(S_1) $, $ S_2 $ je prostorově konstruovatelná a $ S_1(n) \ge log_2(n) $. Potom existuje jazyk L takový, že $ L \in DSPACE(S_2) \setminus DSPACE(S_1) $.

To s omegou znamená že $ S_2 $ není omezená $ S_1 $ (ani když se přenásobí libovolnou konstantou), celá pointa věty je, že v takto větším prostoru se dají poznat nějaké další jazyky.

Důkaz

We show the existence of a language L such that $ L \in DSPACE(S_2) $ but $ L \notin DSPACE(S_1) $. We define L by describing a Turing machine ML, using space $ O(S_2(n)) $, that decides it. ML does the following on input w = (M, y) of length $ |w| = n $:

1. Run M(w) with at most $ S_2(n) $ space and for at most $ 2^{2S_2(n)} $ steps (these bounds are imposed on M), using space at most $ 3·S_2(n) $.
2. If M(w) accepts within the given time and space bounds, then reject. Otherwise, accept.

In step 1, we can use the fact that $ S_2 $ is space constructible to mark off exactly $ S_2(n) $ tape cells for M to use. We can similarly mark off an additional $ 2S_2(n) $ cells to use as a counter for checking the number of steps M makes, and one last set of $ S_2(n) $ cells to use for any remaining computation. By construction, ML uses space $ \hat S_2(n) = 4 · S_2(n) $.

We need to show that no machine using space $ O(S_1(n)) $ can decide L. Assume the contrary. Then there exists a machine $ M^{\prime}_L $ deciding L and using space $ \hat S_1(n) = O(S_1(n)) $.

Choose k large enough so that $ \hat S_1(k) < S_2(k) $, so that $ M^{\prime}_L $ makes fewer than $ 2S_2(k) $ steps on inputs of length k, and so that the simulation of $ M^{\prime}_L $ on inputs of length k can be performed in $ S_2(k) $ space. Consider the input $ w = (M^{\prime}_L, 1^k) $. If we run $ M_L(w) $ then (1) $ M_L $ has enough time and space to simulate the entire execution of $ M^{\prime}_L(w) $, and thus (2) $ M_L(w) $ outputs the opposite of whatever $ M^{\prime}_L(w) $ outputs. We conclude that $ M_L $ and $ M^{\prime}_L $ do not decide the same language.

O časové hierarchii

Nechť $ T_1: \mathbb N \to \mathbb N $ a $ T_2: \mathbb N \to \mathbb N $ jsou funkce takové, že $ T_2 \in \omega(T_1 \cdot \log T_1) $ a $ T_2 $ je časově konstruovatelná. Potom existuje jazyk L takový, že $ L \in DTIME(T_2) \setminus DTIME(T_1) $.

Konstruovatelné funkce

see also Složitost II

• Funkce $ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ je rekurzivní pokud existuje DTS M takový, že pro vstup 1ⁿ vydá výstup 1^f(n).
• Funkce $ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ je vyčíslitelná v čase O(f) pokud f je rekurzivní a ∃ c ≥ 1 takové, že příslušný DTS udělá nejvýše cf(n) kroků než vydá 1^f(n).
• Funkce $ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ je vyčíslitelná v prostoru O(f) pokud f je rekurzivní a ∃ c ≥ 1 takové, že příslušný DTS použije při práci prostor nejvýše cf(n).
• Funkce $ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ je časově konstruovatelná pokud existuje DTS M takový, že pro každý vstup délky n zastaví po právě f(n) krocích (předpokládáme, že f(n) ≥ n + 1).
• Funkce $ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ je prostorově konstruovatelná pokud existuje DTS M takový, že pro každý vstup délky n zastaví s právě f(n) páskovými symboly neprázdnými, přičemž žádný jiný prostor na pracovních páskách nebyl v průběhu výpočtu použit.

Lemma: Nechť $ f_1+f_2 $ a $ f_2 $ jsou časově konstruovatelné funkce, dále nechť $ \exists \varepsilon>0, \exists n_0 $ takové, že $ \forall n>n_0 : f_1(n) \geq \varepsilon \cdot f_2(n) + (1+\varepsilon)n $. Pak $ f_1 $ je časově konstruovatelná.

Podobně jako v důkazu věty o lineárním zrychlení zrychlíme výpočet trvající $ f_1(n)+f_2(n) $ kroků, aby trval přesně $ f_1(n) $ kroků...

Věta: Nechť $ f:\mathbb N \to \mathbb N $, taková, že existuje $ \varepsilon > 0 $ a $ n_0 $, že $ \forall n \geq n_0: f(n) \geq (1+\varepsilon)n $. Pak je f časově konstruovatelná právě tehdy, když je vyčíslitelná v čase O(f).

Je-li f časově konstruovatelná, pak máme stroj který běží v čase f(n). Můžeme mu přidat pásku, na kterou bude psát po dobu svého běhu jedničky, čímž f vyčíslí.

Naopak, označíme-li g(n) přesný čas stroje M, který funkci f počítá v čase O(f(n)). (Tedy g(n) < c*f(n) pro skoro všechna n a nějaké c.) Potom g je časem TS M, f + g je časem TS, který "po dopočítání M ještě spočítá počet jedniček na pásce". Funkce g je časově konstruovatelná díky stroji M. Z toho (a z lemmatu výše) plyne časová konstruovatelnost f.

Věta: Funkce f je prostorově konstruovatelná právě tehdy, když je vyčíslitelná v prostoru O(f).

Doprava nám stačí upravit stroj který f prostorově konstruuje tak, aby při zabrání nového políčka zapsal na novou pásku jedničku.

Nechť M je k-páskový deterministický Turingův stroj vyčíslující f(n) v prostoru c*f(n). Podle věty o lineární kompresi zkonstruujeme k-páskový stroj M', který vyčísluje f(n) v prostoru přesně f(n). Uvědomte si, že M' vyčísluje f(n), tedy musí pracovat v prostoru alespoň f(n). Stroj M' dále převedeme podle věty o redukci počtu pásek na jednopáskový stroj M, který již dokazuje prostorovou konstruovatelnost funkce f.

Věta o lineární prostorové kompresi

Je-li L jazyk přijímaný k-páskovým DTS M v prostoru S(n), pak pro každé přirozené číslo r existuje k-páskový DTS M', který přijímá L v prostoru $ \lceil S(n)/r \rceil $

Věta o redukci počtu pásek pro prostorovou složitost

Je-li L jazyk příjímaný k-páskovým DTS M v prostoru S(n), pak existuje jednopáskový DTS M', který přijímá L v prostoru S(n).

Důsledek: Každá časově konstruovatelná funkce je také prostorově konstruovatelná.

Funkce f je časově konstruovatelná, tedy je vyčíslitelná v čase O(f), tím spíše je vyčíslitelná v prostoru O(f) a z věty výše je tedy i prostorově konstruovatelná.

Vztahy mezi časovými a prostorovými mírami a determinismem a nedeterminismem

DSPACE(S(n)), DTIME(T(n)), NSPACE(S(n)), NTIME(S(n)) -- třídy jazyků (ne)deterministické časové/prostorové složitosti T(n)/S(n).

Triviální vztahy

• $ \forall F_1(n) \leq F_2(n) \Rightarrow XXX(F_1(n)) \subseteq XXX(F2(n)) $, kde XXX je něco z [DN](SPACE|TIME)

Věta o vztazích mezi třídami složitosti

1. $ DTIME (f(n)) \subseteq NTIME(f(n)) $
   $ DSPACE (f(n)) \subseteq NSPACE(f(n)) $
   • triviálně platí
2. $ DTIME(f(n)) \subseteq DSPACE(f(n)) $
   • z vět o lineární kompresi a redukci počtu pásek
   • (IMHO si stačí uvědomit, že prostor je vždy omezen spotřebovaným časem)
3. $ NTIME(f(n)) \subseteq DSPACE(f(n)) $
   • postupně generujeme f(n)-tice možných průchodů (v každém kroku max r možností, r=max|{přechodová funkce}|) jako graf průchodu výpočtem a výpočet simulujeme DTS podle toho -- simulace potřebuje DSPACE(f(n)) (třeba podle předchozího bodu), uloženi f(n)-tice potřebuje $ log_2(r) * f(n) $ místa, tj. taky DSPACE(f(n)), a tenhle prostor se dá použivat pro jednotlivé simulace stejný. Celkem tedy $ DSPACE(f(n)) $.
4. $ L \in DSPACE(f(n)) $ a $ f(n) \geq log_2(n) $, pak $ L \in DTIME(C_L^{f(n)}) $, kde C_L je konstanta závislá na jazyku L
   • Nechť M je jednopáskový stroj poznávající L v prostoru f(n). Počet jeho konfigurací je omezen $ s \cdot (n+1) \cdot (f(n)+1) \cdot t^{f(n)} \leq d^{f(n)} $, pro vhodné $ d $ ($ s $ je počet stavů, $ t $ je počet páskových symbolů, člen (n+1) asi? pro pozici hlavy na vstupní pásce).
   • Zkonstruujeme M', který simuluje M a nejvýše po $ d^{f(n)} $ krocích se zastaví. (Potřebujeme předpoklad časové konstruovatelnosti funkce f.)
5. $ L \in NSPACE(f(n)) $ a $ f(n) \geq log_2(n) $, pak $ L \in DTIME(C_L^{f(n)}) $, kde C_L je konstanta závislá na jazyku L
   • Počet konfigurací opět omezen nějakým $ d^{f(n)} $. Vygenerujeme graf, vrcholy=stavy (tj. omezené), hrana=přechod jedním krokem (konstanta*|stavy|, protože přechodová funkce je konečná). Pak se graf projde a zjistí, jestli tam je přijímací výpočet.
6. $ L \in NTIME(f(n)) $, pak $ L \in DTIME(C_L^{f(n)}) $, kde C_L je konstanta závislá na jazyku L
   • Nechť M je k-páskový NTS, který poznává L v čase f(n). Počet jeho konfigurací je omezen $ s \cdot (f(n)+1)^k \cdot t^{k \cdot f(n)} \leq d^{f(n)} $ pro vhodné $ d $ ($ s $ je počet stavů, $ t $ páskových symbolů).
   • Zkontruujeme DTS M', který vygeneruje seznam všech konfigurací dosažitelných z počáteční konfigurace, což lze provést v kradratickém čase vzhledem k délce výsledného seznamu. Tato délka je omezena součinem počtu konfigurací a délky zápisu jedné konfigurace. Tedy $ l \leq d^{f(n)} \cdot (k \cdot f(n) + 1 + k \cdot \log f(n)) \leq c^{f(n)} $. M' je pak schopný poznat jestli je dosažitelná nějaká přijímající konfigurace, počet jeho kroků je omezen $ c^{2 f(n)} $.

Savitchova věta

see wen:Savitch's theorem

Nechť $ S:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ je prostorově konstruovatelná funkce taková, že $ S(n) \geq log_2(n) $. Potom $ NSPACE(S(n)) \subseteq DSPACE(S^2(n)) $.

Pokud NTS M přijímá jazyk L v prostoru S(n), pak existuje konstanta $ C_L $ taková, že M má nejvýše $ C_L^{S(n)} $ konfigurací. Počet kroků přijímajícího výpočtu pak bude nanejvýš $ C_L^{S(n)} = 2^{S(n) \log C_L} $.

Pak definujeme proceduru $ TEST(I_1, I_2, i) $, která zkoumá, jestli se ze stavu $ I_1 $ dá přejít do stavu $ I_2 $ za maximálně $ 2^i $ kroků. (Dělá to rekurzivně -- pro i=0 ověří jestli jsou stavy shodné nebo existují přímý přechod a vrátí výsledek, jinak pro každý stav $ I_x $ pouští $ TEST(I_1, I_x, i-1) $ a $ TEST(I_x, I_2, i-1) $ a zkoumá jejich výsledek.)

Jedna kopie procedury TEST si musí pamatovat tři konfigurace (jedna konfigurace potřebuje stav, pozici vstupní a výstupní hlavy, a obsah pracovní pásky, to vše O(S(n)) a parametr i (ten se taky vejde do O(S(n)), viz max počet kroků výpočtu).

Simulace probíhá tak, že pro všechny přijímací stavy $ I_j $ voláme proceduru $ TEST(I_0, I_j, mS(n)) $ ($ I_0 $ je počáteční konfigurace) a pokud aspoň jednou odpoví true, vstup přijmeme.

Pracovní páska pak funguje jako zásobník parametrů procedury TEST, která se zahloubí nanejvýš O(S(n)), takže se celý výpočet vejde do prostoru $ O(S^2(n)) $

Úplné problémy pro třídy NP, PSPACE

see wen:NP-complete, wen:PSPACE-complete

Def: Problém A je T-těžký, kde T je třída, vzhledem k k-převoditelnosti, pokud $ \forall B\in T: B\leq_k A $.

Def: Problém A je T-úplný, kde T je třída, vzhledem k k-převoditelnosti, pokud je T-těžký a navíc $ A\in T $.

Převoditelnosti pro různé třídy:

• NP - poly time převoditelnost
• P - log space převoditelnost
• PSPACE - poly time převoditelnost

Úplné problémy pro různé třídy:

• NP: Kachličky, SAT; 3-SAT, 3-Color, Klika, NM, VP; VP, HK, TSP; VP, SP
• P: SAT na Hornovských klauzulích, Vyhodnocení obvodu booleovských hradel (CVP)
• PSPACE: SAT na kvantifikovaných klauzulích (QBF-SAT) - splnitelnost SAT kde proměnné můžou být kvantifikované i univerzálním kvantifikátorem (důkaz podobný důkazu Savichovy věty)
• dále typicky hry (zoběcněný wen: Hex (board game))

Důkazy různých NP-C

Pochopitelnější důkazy jsou uvedené v Majerechových skriptách (ke stažení ve studnici).

Lidsky vysvětlený důkaz Cook-Levinovy věty ("Existuje NP-úplný problém") je zde. Původně je věta formulována pro problém SAT, ale snazší důkaz je pro KACHL a potom ukázat, že KACHL < SAT.

Důkaz KACHL < SAT je také v Majerechových skriptách.

• SAT < 3-SAT

Za každou klauzuli s jiným počtem literálů než 3 dáme množinu klauzulí, která dává ekvivalentní podformuli. Vezměme klauzuli c_i:

1. $ c_i = (x) $, pak $ c_i' := (x \vee y_1 \vee y_2) \wedge (x \vee y_1 \vee \bar y_2) \wedge (x \vee \bar y_1 \vee y_2) \wedge (x \vee \bar y_1 \vee \bar y_2) $
2. $ c_i = (x_1 \vee x_2) $, pak $ c_i' := (x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (x_1 \vee x_2 \vee \bar y) $
3. $ c_i = (x_1 \vee \dotsb \vee x_k) $ pro $ k>3 $, pak $ c_i' := (x_1 \vee x_2 \vee y_1) \wedge (\bar y_1 \vee x_3 \vee y_2) \wedge \dotsb \wedge (\bar y_{i-2} \vee x_i \vee y_{i-1}) \wedge \dotsb \wedge (\bar y_{k-3} \vee x_{k-1} \vee x_k) $

• SAT < Klika

Graf nad všemi literály formule (opakované literály se budou opakovat i v grafu), hrana mezi každými dvěma literály z různých klauzulí, pokud s nejedná o vzájemnou negaci (x a -x). Hledáme kliku o velikosti jako je počet klauzulí, ta pak pro každou klauzuli určuje splňující literál.

• Klika < NM

Nezávislé množiny odpovídají právě klikám v komplementárním grafu.

• NM < VP

Doplňky vrcholových pokrytí odpovídají právě nezávislým množinám. Důkaz snadno sporem, hrana porušující nezávislost není v doplňku pokryta a naopak.

Početní úlohy, #P a #P-úplnost

Def: Funkce f patří do třídy #P pokud existuje binární relace v NPF a platí $ f(x)=|\{y|(x,y)\in R\}| $. f je početní úloha asociovaná s problémem R, píšeme taky #R (např #SAT).

Věta: Každý problém $ A\in NP $ má relaci $ R_A\in NPF $, pro kterou platí, že $ x\in A\Leftrightarrow \#R_A(x)>0 $ - Relace (x,y) y jsou polynomiálně velké certifikáty pro $ x\in A $.

Tohle nám dává souvislost #P s NP. Intuitivně bude platit, že NP-úplné problémy budou #P-úplné. Na druhou stranu v #P musí intuitivně být těžké problémy, jejichž rozhodovací problém těžký není. Počítat řešení musí být jistě alespoň tak těžké, jako najít libovolné.

Další věty/vlastnosti:

• $ f\in\#P $ lze spočítat polynomiálním počtem dotazů na relaci - certifikát je polynomiálně omezený vstupem, tak generuju certifikáty a ptám se relace
• f(x) je v polynomiálním prostoru vzhledem k |x| - počet certifikátů je omezený $ 2^{p(|x|)} $ takže k binárnímu zápisu nám max stačí p(|x|) bitů

Def: Převoditelnost v #P: Trochu složitější než klasická, protože nepřevádíme jen vstup, ale i výsledek. $ f(x)\leq_{\#P}g(x) $ když existují $ \alpha(x,y), \beta(x) $ v P takové, že $ f(x)=\alpha(x,g(\beta(x))) $.

Pak #P-těžkost téhle převoditelnosti. P-úplnost můžeme definovat ale i pomocí polynomiální převoditelnosti relace A z definice # problému. A tohle je docela důležité pro důkazy převoditelnosti, protože nám to dává souvislost s převody uvnitř NP.

Věta: Pokud máme relaci A v NPF-těžkou (každá relace v NPF lze na A převést), tak problém #A je #P-úplný. Pozn. NPF-převoditelnost je polynomiální převoditelnost se zachováním řešení: $ A,B\in NPF $, existuje $ \beta $ v P tak, že $ |\{y|(x,y)\in A\}|=|\{y|(\beta(x),y)\in B\}| $

#P-úplný problém: #SAT je #P-úplný - jasné, když dostaneme nějaký problém v #P, tak relaci s ním asociovanou umíme převést na SAT (protože SAT je NP-úplný).

Zajímavější problém je: #DNF-SAT je #P-úplný - to nám ukazuje to, že $ NP\neq \#P $

Důkaz: DNF-SAT je v PF, takže #DNF-SAT určitě v #P. Když převedeme #SAT na #DNF-SAT tak budeme hotovi (protože #SAT je #P-úplný). Zjevně pro vstup na n proměnných platí: $ \#KNF-SAT(\phi)=2^n-\#DNF-SAT(\neg \phi) $ a negaci umíme spočítat polynomiálně pomocí de-morganových pravidel. Funkce $ \beta(\phi)=\neg\phi $ a funkce $ \alpha(\phi,c)=2^n-c $.

Polynomiální hierarchie

see polynomiální hierarchie, wen:Polynomial hierarchy, Pekne a jednoduche vysvetleni - souvislost s TQBF a PSPACE, alternujici kvantifikatory.

Dobre je si vygooglit v obrazcich heslo polynomial time hierarchy.

Def: TS s orákulem A (jazyk) je TS co má navíc pásku, pomocí které může 'zavolat' orákulum pro $ w\in A $. Jazyk slov pro TS M s orákulem A je L(M,A).

Def: Turingovská převoditelnost (pomocí orákula): A je det. turingovsky převoditelný na B pokud existuje DTS M s orákulem B pro nějž A=L(M,B). Značíme $ A\leq_T B $. Obdobně nedet. turingovská převoditelnost $ A\leq_{NP} B $. Například, každý jazyk A v P je tur. převoditelný na prázdný jazyk (na to, jestli je $ w\in A $ nepotřebujeme nic než klasický TS z P).

Def: Teď můžeme definovat tzv. Relativizované třídy:

• $ P(A)=\{B|B\leq_T A\} $ - všechny jazyky, které můžeme deterministicky rozpoznávat s pomocí orákula jazyka A, např $ P(\emptyset)=P $
• $ P(C)=\{B|\exists A\in C: B\leq_T A\} $ - všechny jazyky, které můžeme deterministicky rozpoznávat s pomocí nějakého orákula z třídy C, např $ P(P)=P $
• $ NP(A)=\{B|B\leq_{NP} A\} $ - všechny jazyky, které můžeme nedeterministicky rozpoznávat s pomocí orákula jazyka A, např $ NP(\emptyset)=NP $
• $ NP(C)=\{B|\exists A\in C: B\leq_{NP} A\} $ - všechny jazyky, které můžeme nedeterministicky rozpoznávat s pomocí nějakého orákula z třídy C, např $ NP(P)=NP $

• Pozn: zjevně tyhle třídy můžeme rekurzivně volat samy na sebe P(NP(P)), NP(NP(NP)) apod

• Pozn: NP(NP)=? ... nevime! (nemuzem pouzit postup jako u P(P), vypocet simulace nema jednu vetev).

Pro každou množinu jazyků platí $ P(C) \subseteq NP(C) \subseteq PSPACE(C) $.

Def:Polynomiální hierarchie - Třídy $ \Sigma_k, \Pi_k, \Delta_k $ definované následovně:

1. $ \Sigma_0 = \Pi_0 = \Delta_0 = P $
2. $ \Sigma_{i+1} = NP(\Sigma_i) $
3. $ \Delta_{i+1} = P(\Sigma_i) $
4. $ \Pi_{i+1} = coNP(\Sigma_i) $ kde coNP je definované klasicky množinově na jazycích $ coNP(B)=\{A'|A\in NP(B)\} $
5. $ PH=\bigcup_{i\geq 0}\Sigma_i $

Zde je dobré vědět nějaké vztahy mezi jednotlivými třídami. Viz obrázek na anglické wikipedii.

Věta: $ PH = \bigcup_{k\geq 0}\Pi_k = \bigcup_{k\geq 0}\Delta_k $.

PH je v PSPACE

Věta

$ PH \subseteq PSPACE $

Dokazuje se indukcí podle i

1. i = 0; $ \Sigma_0 = P \subseteq PSPACE $
2. předpokládáme, že tvrzení platí pro i (IP), chceme ukázat, že $ \Sigma_{i+1} \subseteq PSPACE $

   $ \Sigma_{i+1} = NP(\Sigma_i) \subseteq^{IP} NP(PSPACE) \subseteq^* PSPACE(PSPACE) $

   * -- co poznám v NP, poznám v i PSPACE, a orákulum mám stejné

   $ PSPACE(PSPACE) \subseteq PSPACE $

   místo orákula může stroj kolikrát chce pouštět DTS, co si bude vedle psát ve svém polynomiálním prostoru

Věta: O kolapsu PH - Pokud P=NP, tak PH=P

Tato část je neúplná a potřebuje rozšířit. Další vzájemné vztahy, alternující kvatifikátory, kolaps PH

Pseudopolynomiální algoritmy

see wen:Pseudo-polynomial time

• Nechť je dán rozhodovací problém (úloha, jejímž výstupem je ANO/NE) π a jeho instance I. Def:
  • kód(I) .. délka zápisu I v nějakém kódování (např. binárním)
  • max(I) .. velikost největšího čísla v I (ne jeho kódu)

• Alg. řešící π se nazývá pseudopolynomiální, pokud je jeho čas. slož. omezena polynomem v proměnných kód(I) a max(I).
• Pokud je π tž. forall I: max(I)≤p(kód(I)) potom pseudopolynomiální=polynomiální
• Problémy, pro které obě skupiny nesplývají se nazývají číselné. tj. neexistuje polynom p tž. viz výš
• Ne však každý číselný problém lze řešit pseudopolynomiálně (tzv. silně NP-uplné problémy)
  • π_p omezení na podproblém π tž. platí max(I)≤p(kód(I)). Pokud π_p NPÚ, tak π S-NPÚ
  • Klika, TSP je S-NPÚ

Tato část je neúplná a potřebuje rozšířit. S-NPÚ patří do tohoto požadavku taky!

Dolní odhady pro uspořádání (rozhodovací stromy)

podle http://ksvi.mff.cuni.cz/~topfer/ppt/Progr-11.pdf

popsano v otazkach k Datovym strukturam: Státnice_-_Informatika_-_Datové_struktury#Doln.C3.AD_odhady_pro_uspo.C5.99.C3.A1d.C3.A1n.C3.AD_.28rozhodovac.C3.AD_stromy.29

Aproximační algoritmy a schémata

Pozri tiež Státnice - Aproximační algoritmy a schémata

see wen:Approximation algorithm, kus na straně 12 z [2]

• Předpoklady: Každé řešení má nezápornou hodnotu.

• Značení: $ n $ velikost zadání, C* hodnota optimálního řešení, C hodnota aproximovaného řešení

Definice

• Poměrová chyba: $ \rho(n) \geq max\left\{ \frac{C^*}{C}, \frac{C}{C^*} \right\} $
• Relativní chyba: $ \epsilon(n) \geq \frac{|C-C^*|}{C^*} $
  • Pozn.: Pokud jsou $ \rho(n),\epsilon(n) $ konstanty, tak se obyčejně parametr $ n $ vynechává.

• Aproximační schéma (AS) pro optimalizační úlohu je aproximační alg., který pro vstup délky $ n $ a číslo $ \epsilon>0 $ najde řešení s relativní chybou $ \epsilon $. Může být exponenciální vzhledem k $ n $ i $ 1/\epsilon $.

• Polynomiální AS: AS, které je polynomiální vzhledem k $ n $.

• Úplně Polynomiální AS (ÚPAS): PAS, které je polynomiální i k $ 1/\epsilon $.

Well done article that. I'll make sure to use it wisley.

Příklady

Vrcholové pokrytí

• ρ=2.
• Stačí v cyklu: Vždy vzít ze zbylých hran jednu. Oba její vrcholy přidat do pokrytí a odstranit ostatní incidentní hrany.

DK: Ať je F množina všech hran vybraných během algoritmu a C nalezené pokrytí. Platí: |C|=2*|F| (každá hrana má 2 vrcholy) a navíc |F|≤|C*| (optimální řešení musí pokrýt i hrany z F).

|C|=2*|F| a |F|≤|C*| potom |C|≤2*|C*|

ÚPAS pro součet podmnožiny

• Je dána konečná podmnožina množ. přirozených čísel A s prvky x_i, hodnota součtu t a aproximační parametr 0<ε<1.
• Součet L+x označuje seznam vzniklý ze seznamu L přičtením hodnoty x ke všem jeho položkám. Zachovává uspořádání.
• Prořezat seznam L s parametrem δ znamená, že pro každý odstraněný prvek y existuje v prořezaném seznamu L' prvek z splňující: (1-δ)y ≤ z ≤ y. Zachovává uspořádání.
• Algoritmus řešení:

APPROX_SP(A,t,ε):

L0=(0)
for i = 1 to n do
  Li=MERGE(Li-1, Li-1+xi) //vytvoří nový a slitím původního a součtu původního
  Li=PRUNE(Li, ε/n) //prořeže
  Li=CROP(Li, t) //odstraní prvky větší než t
end
return Ln //vrátí řešení

• Prořezávání s parametrem ε/n zajišťuje nepřekročení výsledné meze chyby ε, která se může kumulativně zvětšovat v každé iteraci.
• Časová složitost algoritmu je $ O\left(\frac{n^2\cdot log~t}{\epsilon}\right) $ (v nejhorsim pripade se kazdy prvek od predchoziho lisi o 1-e/n, tedy budou prvky tvorit geometrickou posloupnost (1-e/n)^i a t=(1-e/n)^|L_i| a tedy |L_i|=log_{1-e/n}t).

Obchodní cestující:

• Pro TSP na úplném grafu s troj. nerovností (ΔTSP) ex. aprox. algoritmus s poměrovou chybou ρ=2.
  • Pro ΔTSP platí: $ \forall u,v,w\in V: c(u,v)\leq c(u,w)+c(w,v) $. Je to vůbec NP-těžké? ANO: Lze řešit HK pomocí ΔTSP následujícím způsobem: Graf se doplní na K_|V| a váhy se definují $ c(e)=1\mbox{ pokud }e\in E $, $ c(e)=2\mbox{ pokud }e\notin E $. Potom řešení hledá ΔTSP pro k=|V|.
  • Řešení problému ΔTSP:

1. Nalezení min. kostry (např. Primův alg. - staví se na jedna komponenta postupným připojováním vrcholů) → kostra T
2. Zvolí se vrchol u a preorder (pořadí prvního navštívení vrcholu) se očíslují vrcholy pomocí DFS(T,u) → pořadí vrcholů dané očíslováním.
3. Výsledná HK je určena očíslováním z kroku 2.

DK: Ať H* je opt. HK a T je minimální kostra, potom c(T)≤c(H*).

W je úplná procházka po T (viz krok 2.), potom c(W)=2*c(T)≤c(H*).

Z W se vyrobí H nahrazováním cest délek ≥2 jednou hranou (vracení se v DFS průchodu a první dopředný krok). Jelikož zde platí trojúhelníková nerovnost, platí také: c(H)≤c(W).

Platí c(H)≤c(W)=2*c(T)≤c(H*) potom ρ≤2.

• Ať ρ≥1 je konstanta. Pokud P≠NP, potom neexistuje polynomiální aproximační algoritmus řešící obecný TSP s poměrovou chybou ρ.
  • Pokud by existoval, umí řešit HK (ten je NPÚ). Graf se doplní na K_|V| a váhy hran se definují:

$ c(e) = \begin{cases} 1, & \mbox{pokud }e\in E \\ \rho\cdot n+1, & \mbox{pokud }e\notin E \end{cases} $

Nyní algoritmus buď vydá HK délky n (→Odpověď na HK v původním grafu je ANO), nebo vydá HK délky >ρ·n (→Odpověď na HK v původním grafu je NE).

Metody tvorby algoritmů

Dynamické programování

Viz wen:Dynamic programming, Násobení matic od Jakuba Černého nebo dynamické programování podle kuchařky KSP.

Věta o dynamickém programování: papír Dynamické programování od Jiřího Vyskočila na strojilovych stránkách.

Využití:

1. "překrývání podproblému" (problém lze rozdělit na podproblémy, jejichž řešení se využívá opakovaně).
2. "optimální podstruktury" (optimální řešení lze zkonstruovat z optimálních řešení podproblémů).

Příklady použití:

• Násobení matic
• Problém batohu
• Problém obchodního cestujícího
• Floyd-Warshallův algoritmus nejkratší cesty
• …

Hladový algoritmus

wen:Greedy algorithm

Matroid je usp. dvojice M=(S,I) splňující podmínky:

1. S je konečná neprázdná množ. prvků.
2. I je neprázdná množina podmnožin množiny S (nezávislých podmnožin - význam podle kontextu konkrétního matroidu) taková, že má dědičnou vlastnost (B in I & A subset B potom A in I).
3. I má výměnnou vlastnost (pokud A,B in I tž. |A|<|B| potom existuje x in B-A: A+{x} in I).

(Pozn. Pro vážený matroid se doplňuje funkce w: S->R₀⁺ pro podmnožiny S suma přes prvky.)

Všechny max. nezávislých množiny mají stejnou velikost.

Greedy(M,w):
0. A={}
1. Setřiď S sestupně
2. foreach x in S do //seřazené podle vah
     if A+{x} in I then //test na nezávislost!
       A=A+{x} //rozšíření
3. return A

Složitost:

1. Θ(n*log(n))
2. n*test na nezávislost (zde jsme ignorovali složitost rozšiřování A, asi snazší než test na nezávislost)
   • Lemma 1: x in S tž. {x} not in I, potom neex. A in I tž. x in A.
   • Lemma 2: S setříděný dle vah do nerost. posl. a x je první v S tž {x} in I. Potom existuje optimální A sub S tž. x in A.
   • Lemma 3: x z lemma 2. pak pro matroid M je nalezení optima ekvivalentní hledání optima pro M' tž. $ S'=\{y \in S; \{x,y\} \in I\} $ a $ I'=\{B \subseteq S-\{x\}; B+\{x\} \in I\} $ (kontrakce prvkem x).

Pozn.: Lemma 1–3 -> Greedy(M,w) vrací optimální množinu.

Pr.: Minimalní kostra grafu

Základy pravděpodobnostních algoritmů

Viz kapitola 7 knihy Computational Complexity:A Modern Approach - Arora S., Barak B.

Testovani prvociselnosti, Koubek

Základ (lidštěji) shrnut na 5 stranách:

Crash course on complexity theory with emphasis to Randomized computation, Mark Bläser

Zmatení pojmů

Pri studiu clovek narazi na dve deleni v souvislosti s použitím náhodnosti ve výpočtech:

• Deleni dle typu algoritmu: [en.wikipedia.org/wiki/Las_Vegas_algorithm, Las Vegas] , [en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_algorithm, Monte Carlo], Atlantic City [pouziva prof. Koubek na zaklade S.Ulama/N.Metropolise - tvurcu pojmenovani MonteCarlo]
• Deleni dle slozitostnich trid - BPP, BTIME, ZPP, coRP, RP,PP, ... [pouziva prof.Sgall, Arora Barak a "složitostníci"]

Dělení dle algoritmů se dá namapovat na složitostní třídy (a je dobře popsáno na anglické Wikipedii).

Pravdepodobnostní Turingův stroj (PTS) - definice

Rozsirime Turinguv stroj o moznost pouzivat ve vypoctech náhodnost. Pravdepodobnostní Turingův stroj (PTM) je Turingův stroj se dvěma přechodovýma funkcema $ \delta_0, \delta_1 $.

Výpočet PTS M na vstupu x probíhá tak, že v každém kroku se s pravděpodobností $ \tfrac{1}{2} $ použije $ \delta_0 $ a s pravděpodobností $ \tfrac{1}{2} $ použije $ \delta_1 $. Toto rozhodnutí je nezávislé na předchozích rozhodnutích.

Výstupem stroje je buď 1(přijetí) nebo 0(odmítnutí). M(x) označíme náhodnou proměnnou, jejíž hodnota je hodnota výstupu stroje M nad vstupem x.

Stroj M běží v čase T(n), kde $ T: N \rarr N $, pokud se zastaví maximálně po $ T( \left | x \right | ) $ krocích nezávisle na náhodných rozhodnutích.

Strom možných výpočtů PTS po $ t $ krocích je tedy úplný binární strom, existuje tedy $ 2^t $ různých větví výpočtu. Každá větev má pravdepodobnost $ \frac{1}{2^t} $. Tedy pravděpodobnost, že stroj M přijme vstup x, tj. $ P[M(x) = 1] $ je počet přijímajících větví z celkového počtu větví.

---

Pozor! Zde vznikaji jemné rozdíly mezi nedeterministickym Turingovym strojem (NDTM) a PTM. U NTDM řekneme, že přijímá slovo, pokud existuje ve stromu možných výpočtů větev, která končí v přijímacím stavu. U PTM uvažujeme celou množinu výpočetních větví, ve kterých končí výpočet v přijímacím stavu. Další rozdíl je na urovni konceptu kde jsou PTM blizke TM, protoze narozdil od NDTM maji modelovat skutecne vypocetni stroje.

RP, co-RP

Jazyk L patří do třídy RP, když pro něj existuje PTS M pracující v polynom. čase. Slovo z L storj přijme s pstí aspoň 0.5, slovo mimo jazyk vždy odmítne: $ x\in L \implies p(acc) \geq 0.5; x \notin L \implies p(acc) = 0 $. Tedy, pokud stroj slovo přijal, je určitě z jazyka. Pokud slovo odmítl, nic nevíme.

P je podmnožina RP - daný TS převedeme na PTS tak, že obě přechodové funkce zvolíme totožné. PTS přijme slovo z jazyka pravděpodobností 1, 1 >= 0.5. RP je podmnožina NP - PTS převedeme na NTS tak, že z každého displeje zvolíme dvě možná pokračování podle dvou přech. fcí. NTS vždy přijme slovo z jazyka, jelikož v PTS existovala přijímající větev.

Když zauvažujeme nad podobou co-RP, odvodíme, že pro L z co-RP existuje PTS M, který vždy přijme slovo z L, slovo mimo L odmítne s pstí >= 0.5. $ ZPP = RP \cap co-RP $. Pro jazyk ze ZPP tedy existují dva stroje A (RP) a B (co-RP). Nový stroj může pustit slovo do A: když přijme, vracím ANO. Pak pustí slovo do B: když odmítne, vracím NE. Jinak můžu vrátit třetí hodnotu NEVÍM (třetí hodnota (vědomí si své chyby) nebyla možná u RP ani u co-RP, jen u ZPP). Algoritmy ze ZPP se označují Las Vegas (vrací ANO, NE, NEVÍM v poly-čase, vždy jim lze věřit).

BPP

Jazyk L patří do třídy BPP, když pro něj existuje PTS M pracující v polynom. čase. Slovo z L stroj přijme s pstí aspoň 2/3, slovo mimo L stroj odmítne s pstí aspoň 2/3: $ x\in L \implies p(acc) \geq 2/3; x \notin L \implies p(acc) < 1/3 $. Jinými slovy, pravděpodobnost chybné odpovědi je menší než 1/3.

RP je podmnožina BPP. Stroj M pro jazyk z RP vždy odmítne slovo mimo jazyk, 0 < 1/3. Stroj M přijme slovo z L s pstí 1/2, pro třídu BPP ale potřebujeme 2/3 ... Spustíme M dvakrát! Pokud aspoň jednou vrátí ANO, vracíme ANO, jinak NE. Pro slovo z jazyka, pst(NE) < 1/2, pst(NE, NE) < 1/4, po dvou spuštěních je pravděpodobnost přijetí aspoň 3/4, 3/4 > 2/3 (a čas zůstal polynomiální). Tento trik (opakování) je velmi častý v této oblasti, říká se mu "amplifikace pravděpodobnosti".

Je zvykem se domnívat, že P není rovno NP. Podobně je zvykem se domnívat, že P = BPP.

$ P \subseteq ZPP \subseteq (RP, co-RP) \subseteq BPP \subseteq PSPACE $

Algoritmy z BPP se označují Monte Carlo (vrací ANO, NE v poly-čase, ale nelze jim vždy věřit). Odpověď ANO může být chybná i NE může být chybná (oboustranná chyba). Někdy odpověď ANO je vždy správná a NE může být chybná (jednostranná chyba) - pak algoritmus vyhovuje dokonce třídě RP. Chybu lze zmenšovat opakováním.

BPP a BPTIME

• BPP znamená 'bounded-error probabilistic polynomial-time'
• BPP prijima i odmita s psti 2/3.
  • Coz muze vest k otazce: 2/3 + 2/3 je vice nez jedna (coz se nam u pravdepodobnosti nelibi). Zde je nutne uvedomit si, co veta rika. Pokud slovo do jazyka patri, pak s psti 2/3 je prijato (a s psti 1/3 odmitnuto). Pokud slovo do jazyka nepatri je s psti 2/3 odmitnuto (a psti 1/3 prijato).

Tato část je neúplná a potřebuje rozšířit. definice

Pracovni text:

BPP prijima i odmita s psti 2/3.

Alternativni definice: podobne jako u NTS - spolu se vstupem dame DTS polynomialni certifikat(sekvence rozhodnuti pro kazdy krok)

Vi se, ze BPP je nekde mezi P a EXP.

Ale nevi se ani jestli BPP je ostre v NEXP.

Hlavni otevreny problem je jestli BPP = P. (Hodne teoretiku veri, ze ano!)

Priklady: pocitani medianu, testovani prvociselnosti,

RP, coRP, ZPP

Tato část je neúplná a potřebuje rozšířit. chtelo by to sem prepsat nejaky vycuc

Materiály

• Skripta Ladislava Strojila
• Slajdy z přednášek a další materiály na mff.modry.cz
• Algorithms – Dasgupta S., Papadimitriou C.H., Vazirani U.V., Berkeley
• Complexity Theory: A Modern Approach (draft) – Arora S., Barak B., Princeton

Sanjeev Arora and Boaz Barak. Computational Complexity: A Modern Approach [draft January 2007]. Remark 1.5, page 1.7 (17).